穩(wěn)定分布模型的自相似特征分析

萬 麗 ，王慶飛 ，邵任翔

（1.廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣州 510006；2.中國地質(zhì)大學(xué) 地質(zhì)過程與礦產(chǎn)資源國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100083）

傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)計(jì)算和檢驗(yàn)方式均基于高斯分布假設(shè)，然而，許多情況下，試驗(yàn)數(shù)據(jù)常常是非高斯分布的，如Pareto發(fā)現(xiàn)，占97%的個人收入分布接近對數(shù)正態(tài)分布，但剩下的3%收入迅速增加，且服從逆冪規(guī)律，從而產(chǎn)生厚尾特征。這說明存在中心極限定理并不適用的分布。大多數(shù)物理試驗(yàn)數(shù)據(jù)的變化存在很明顯的尖峰現(xiàn)象，即相對高斯分布而言，在均值附近的數(shù)據(jù)點(diǎn)特別多，同時取極端值（過大或過小的數(shù)據(jù)點(diǎn))的數(shù)據(jù)點(diǎn)也特別多[1,2]，在統(tǒng)計(jì)分析中常將這些“異常值”去掉，Mandelbrot B認(rèn)為這樣做是不可取的，因?yàn)椤爱惓Ｖ怠钡某霈F(xiàn)并不是一種偶然現(xiàn)象，并對包含這些“異常值”的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)集進(jìn)行了研究，提出穩(wěn)定分布模型[3]。

穩(wěn)定分布是一類滿足廣義中心極限定理的分布，即無限多個可能方差無限大的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和，其極限分布是穩(wěn)定分布。該分布具有4個參數(shù)，參數(shù)的不同取值對應(yīng)著不同的分布，如高斯（Gaussian）分布、柯西（Cauchy）分布和列維（Levy）分布均是穩(wěn)定分布的特殊分布，因此穩(wěn)定分布模型描述實(shí)際中的高斯或非高斯噪聲均具有適用性。

1 模型的數(shù)學(xué)描述

定義[4]稱隨機(jī)變量X服從穩(wěn)定分布，如果存在參數(shù)0＜α≤2，-1≤β≤1，及實(shí)數(shù)σ＞0和μ，使得X的特征函數(shù)滿足

這里sing(x)是符號函數(shù)，α稱為穩(wěn)定指數(shù)(index of stable)，β 稱為偏斜指數(shù) (index of skewness)，σ 是尺度指數(shù)(scale parameter)，μ 是位置指數(shù)(local parameter)。

由隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)是特征函數(shù)的傅里葉變換，得穩(wěn)定分布的概率密度函數(shù)為

其中，穩(wěn)定指數(shù)，α∈(0,2]描述尖峰厚尾的程度，α越小，尾部越厚、峰部越尖；偏斜指數(shù)，β∈[-1，1]描述偏態(tài)特征，β=0則分布對稱，β＞0則分布右偏，β＜0則分布左偏；尺度參數(shù)σ＞0表示隨機(jī)變量尺度的變化;位置參數(shù)μ∈R表示均值的位置。 通常將穩(wěn)定分布隨機(jī)變量記為 X～Sα(β,σ,μ)。

特別地

當(dāng) α=2，且 β=0 時，X～S2(0，σ，μ)=N(μ，σ2)，即服從高斯（Gaussian）分布；其特征函數(shù)為

Ψ(θ)=exp(iμθ-σ2θ2)

當(dāng) α=1，且 β=0 時，X～S1(0,σ,μ)，概率服從柯西（Cauchy）分布，其特征函數(shù)為

Ψ(θ)=exp(iμθ-σ|θ|)

當(dāng) α=1/2，且 β=1 時，X～S1/2(1,σ,μ)，概率服從列維（Levy）分布，其特征函數(shù)為

Ψ(θ)=exp{-|σθ|1/2[1+isign(θ)]+iμθ}

當(dāng) α∈(0,2),且 β ≠0時，X服從非高斯（Non-Gaussian）穩(wěn)定分布，其特點(diǎn)為概率分布的尾部較高斯分布厚、峰部較高斯分布尖，表現(xiàn)出尖峰厚尾的分布特征。

需要說明的是，在大多數(shù)統(tǒng)計(jì)問題中，一階矩（均值)E(X)和二階矩（方差)Var(X)常被用來描述統(tǒng)計(jì)分布。然而，對于厚尾分布來說，這些不是普遍有用，因?yàn)楫?dāng)0＜α＜2時，對于任意0＜q＜α，E(|X|q)是有限的，但對 q≥α，E(|X|q)=+∞，由此可得，當(dāng)1＜α＜2 時，一階矩（總體均值)存在，而二階矩（總體方差)無限大或不存在；當(dāng)1＜α≤1時，一階矩（總體均值)和二階矩（總體方差)均為無限大或不存在。

2 模型的自相似特征分析

定義 若分布具有自相似性，即標(biāo)度不變性，故其概率滿足

式中δ是變換常系數(shù)；G(δ)與x無關(guān)，只是與δ有關(guān)的函數(shù)，可以證明，滿足上式的只可能是冪函數(shù)。考慮到0≤p(x)≤1，所以冪指數(shù)取負(fù)號即P(x)∝x-D，D＞0。 因此，分布的自相似性實(shí)際是概率函數(shù)與隨機(jī)變量呈冪律關(guān)系，也稱其具有標(biāo)度不變性。

對穩(wěn)定分布重點(diǎn)考慮分布的尾部分布特征。

當(dāng)α=2，λ→∞時，高斯分布尾部的概率密度函數(shù)為

在這里符號“～”表示兩邊之比的極限為1。此時即隨機(jī)變量服從均值為μ，方差為2σ2的高斯分布。

當(dāng)α＜2時，在穩(wěn)定分布尾部特征指數(shù)α依概率服從冪律，即

此時，概率分布的尾部服從負(fù)冪律分布。

特別，當(dāng) 0＜α＜2，β=1 時，即 X～Sα(1,σ,0)，由公式（1）及Laplace變換得

而當(dāng)β=-1時，由分布的對稱性

X～Sα(1,σ,0)?-X～Sα(-1,σ,0)

從而有 P(-X＞λ)～σ2Cαλ-α

即 P(X＞-λ)～σ2Cαλ-α

對于-1≤β≤1可用性質(zhì)得到類似結(jié)果[4]。

由此可得當(dāng)0＜α＜2時，隨機(jī)變量的概率分布服從冪律，即對于對稱的穩(wěn)定分布|λ|大的地方具有冪型拖尾；對于非對稱的穩(wěn)定分布，長的一端服從冪型拖尾，而短的一方迅速減小，即長尾具有自相似分形特征，α實(shí)質(zhì)上就是分維[5]。

3 結(jié)語

穩(wěn)定分布是一種允許偏斜和厚尾的概率分布族。穩(wěn)定分布模型不僅能描述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的高斯分布特征，而且還能描述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中大量的非高斯分布，即具有既能描述數(shù)據(jù)集的正常值、也能刻畫其異常值的優(yōu)點(diǎn)。同時，由于模型蘊(yùn)含著自相似性，因此還可刻畫數(shù)據(jù)集的分形特征。理論上，穩(wěn)定分布模型是比傳統(tǒng)單一模型更系統(tǒng)和全面地刻畫隨機(jī)變量概率分布的有效模型之一。

[1]Hippolyte F,Johnp N.Tail Behavior,Modes and Other Characteristics of Stable Distributions[J].Extremes,1999,2(1).

[2]Kolokoltsov V,Korolev V,Uchaikin V.Fractional Stable Distribution[J].Journal of Mathematical Sciences,2001,105(6).

[3]Mandelbort B.B.The Fractals Geometry of Nature[M].New York:Freeman,1982.

[4]Gennady Samorodnitsky,Murad S.Taqqu.Stable Non-Gaussian Random Precesses[M].New York:Chapman&Hall/CRC,1994.

[5]董連科.分形動力學(xué)[M].沈陽:遼寧科學(xué)技術(shù)出版社,1994.