基于模式搜索法優(yōu)化的GM(1,1)模型

俞華鋒，陳鵬宇

(1.浙江大學(xué)，杭州 310027；2.中國地質(zhì)大學(xué) 工程學(xué)院，武漢 430074)

0 引言

灰色預(yù)測模型是灰色理論的重要組成部分，而GM(1,1)模型是灰色預(yù)測模型中最基本的模型，已經(jīng)在計算機、管理和圖像工程等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1]。GM(1,1)預(yù)測模型雖有許多成功的實例，但也存在預(yù)測誤差偏大等問題，因此找出影響 GM(1,1)預(yù)測模型精度的因素具有非常重要的理論和實際意義[2]。文獻[3-4]中分別指出了GM(1,1)模型背景值構(gòu)造存在缺陷，但都是以背景值面積不等為基礎(chǔ)，而本文將以灰微分方程與其白化型的對應(yīng)關(guān)系為基礎(chǔ)分析背景值構(gòu)造的缺陷，并建立加權(quán)背景值構(gòu)造。文獻[5-6]中分別指出了初始值的選擇對模型預(yù)測精度存在影響，但未作理論上的分析，因此本文以最小二乘法理論為基礎(chǔ)分析了初始值確定的不足，并對初始值添加修正項。由于背景值構(gòu)造和初始值的確定對模型預(yù)測精度的影響是相互制約的，只有同時對背景值和初始值進行優(yōu)化，才能達到最佳的預(yù)測精度，為此，本文提出了利用模式搜索法在原始數(shù)據(jù)殘差平方和最小或平均相對誤差最小的目標下求解最佳背景值權(quán)值和初始值修正項，實例結(jié)果表明優(yōu)化的GM(1,1)模型提高了預(yù)測精度。

1 GM(1,1)模型分析

1.1 模型的建立

令 x(0)為 GM(1,1)建模序列

則GM(1,1)的定義型，即GM(1,1)的灰微分方程模型為

其中a為發(fā)展系數(shù)，b為灰作用量，是微分方程的參數(shù)。

灰微分方程白化型為

GM(1,1)白化型響應(yīng)式為

由最小二乘法，可以求得參數(shù)

1.2 模型的缺陷分析及改進

1.2.1 背景值構(gòu)造分析

顯然模型參數(shù)是基于灰微分方程（2）利用最小二乘法求取的，而模型的最終預(yù)測式是基于灰微分方程白化型（3）求取的，而式（3）直接利用了基于式（2）所得的參數(shù)，這就意味著式（3）和式（2）必須是等同的，也就是有下式

此時導(dǎo)數(shù) x(0)(k)對應(yīng)的點為(ξ,x(1)(ξ))，而 x(1)(ξ)=x(1)(λ)(k)+x(1)(k-1))并不一定成立，所以式（5）中兩等式并不一定同時成立，也就是式（2）與式（3）并不一定等同，為此本文建立了以下加權(quán)背景值形式

顯然存在 p 值使 x(1)(ξ)=x(1)(λ)=px(1)(k)+(1-p)x(1)(k-1)成立，只是由于原始數(shù)據(jù)并不可能是規(guī)則序列，因此每兩個數(shù)據(jù)之間的p值并不一定相同，但是我們可以尋找一個使每個k值下的式（6）最接近于成立的p值，或者說尋找一個使模型預(yù)測精度最高的p值，p值的具體求解方法將在下文給出。

1.2.2 初始值確定分析

觀察最小二乘法的計算式

x(0)(k)=-az(1)(k)+b,k=2,3,…,n

根據(jù)最小二乘法原理可知，其達到的最小為

而如果以原始數(shù)據(jù)殘差平方和最小作為預(yù)測精度最高的標志，那我們所要達到的目標是

GM(1,1)模型中為了得到式（3）的解，模型默認經(jīng)過初始值點，這從式（4）也可以看出，此時初始值殘差為零，但由最小二乘法原理可知，使原始數(shù)據(jù)殘差平方和最小的模擬曲線并不一定過其中一點，也包括初始值點，也就是說此時式（7）并不一定是最小的。同樣如果以平均相對誤差最小作為預(yù)測精度最高的標志，模型默認經(jīng)過初始值點也達不到預(yù)測精度最高的目標。因此，我們對初始值添加修正項，表示初始值與最佳初始值之間的差別，此時式（4）變形為

2 優(yōu)化的GM(1,1)模型

前面本文已經(jīng)分析得出了GM(1,1)模型的缺陷以及改進的方法，也就是將模型的背景值構(gòu)造改為

同時對初始值添加修正項

至于權(quán)值p和修正項β的求解，本文采用具有全局尋優(yōu)能力的非線性搜索算法—模式搜索法(pattern search)，模式搜索法是Hooke和Jeeves于1961年提出的，這種方法的基本思想是先“探測性移動”尋找最佳點信息，然后用“模式性移動”沿著找到的最佳點信息前進，2種移動交替進行直到步長δ小于事先給定的某個小正數(shù)ε為止[7]，其基本原理及搜索過程可參考文獻[8-9]。以模式搜索法在原始數(shù)據(jù)殘差平方和或平均相對誤差最小的目標下搜索最佳權(quán)值和修正項，具體操作可利用Matlab模式搜索工具箱，以[0.5，0]點為初始點以式（8）為目標函數(shù)進行搜索。

下面以某超市信息管理和決策支持系統(tǒng)中客戶流失預(yù)測(數(shù)據(jù)挖掘)中的相關(guān)數(shù)據(jù)資料建立優(yōu)化的GM(1,1)模型，原始數(shù)據(jù)及預(yù)測值見表1，其中經(jīng)模式搜索法求得p=0.479088，β=-1.61×10-4，其中優(yōu)化目標為原始數(shù)據(jù)殘差平方和最小。

從表1可以看出，優(yōu)化后的GM(1,1)模型平均擬合相對誤差從0.915%降低到0.075%，平均預(yù)測相對誤差從1.348%降低到0.086%，無論是擬合精度還是預(yù)測精度，優(yōu)化的GM(1,1)模型都比原有GM(1,1)模型有了明顯地提高，顯然模型的改進是有效的。

表1 優(yōu)化的GM(1,1)模型與原模型預(yù)測結(jié)果

3 結(jié)束語

在信息技術(shù)快速發(fā)展的今天，人們面對的各種數(shù)據(jù)越來越復(fù)雜；將GM(1,1)模型應(yīng)用于計算機信息管理、決策支持和數(shù)據(jù)挖掘過程，對整體規(guī)律復(fù)雜而在某一時間或空間有很強規(guī)律性的數(shù)據(jù)系列進行挖掘，能取得很好的分析效果；為決策人員提供科學(xué)、準確的數(shù)字依據(jù)，對提高我們決策的準確性、科學(xué)性具有重要意義。

本文背景值構(gòu)造和初始值確定兩個方面分析了GM(1,1)模型的缺陷，建立加權(quán)背景值和帶有修正項的初始值，而權(quán)值和修正項采用模式搜索法在原始數(shù)據(jù)殘差平方和或平均相對誤差最小的目標下進行搜索，實例應(yīng)用結(jié)果顯示優(yōu)化后的GM(1,1)模型提高了預(yù)測精度，這對提高GM(1,1)模型的應(yīng)用價值具有一定的意義。

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[3]譚冠軍.GM(1,1)模型的背景值構(gòu)造方法和應(yīng)用(Ⅰ)[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2000(4).

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[9]陳寶林.最優(yōu)化理論與方法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2000.