一類多險種復合Poisson-Geometric過程風險模型研究

李應求 ，甘 柳 ，魏 民 ，2

(1.長沙理工大學a.數學與計算科學學院；b.經濟管理學院，長沙 410076;2.中國工商銀行湘潭湘江支行，湖南 湘潭 411101)

1 預備知識及模型定義

經典風險模型中索賠來到過程是一個Poisson過程,Poisson過程的一個重要性質是均值等于方差，但在保險公司的實際運作中是難以具備這樣的性質的。為了使模型更加符合實際，文獻[2]提出了一類稱為復合Poisson-Geometric過程的計數過程，建立了如下模型:

其中U(t)為保險公司在t時刻的盈余量，c為單位時間內收取的保費，u≥0 為公司的初始盈余，{N(t)；t≥0}是參數為，ρ的復合Poisson-Geometric過程，Xi表示第i次索賠額。針對模型(1)，文獻[2]給出了其破產概率所滿足的更新方程，并在索賠額服從指數分布時，得到了破產概率的顯示表達式;文獻[3]在索賠分布Xi為相位分布的情況下，得到了破產概率的顯示表達式，并進行了數值計算;文獻[6]得到了Gerber-Shiu折現罰金函數;文獻[7]給出了破產概率上界估計。文獻[8]將模型(1)推廣，建立了如下模型:

其中{M(t)，t≥0}為 Poisson 過程，并得到了模型(2)的破產概率上界。文獻[10]建立了一種多險種模型:

其中每個險種的索賠來到過程{Ni(t)；t≥0}都是參數為λi，ρi復合 Poisson-Geometric 過程，保費來到次數{Ki(t)；t≥0}是參數 αi為的 Poisson 過程，i=1， …，n，{W(t)，t≥0} 是標準的Wiener過程，σ為擾動強度，并得到了破產概率所滿足的Lundberg不等式和破產概率上界。

本文將模型(3)進一步推廣，建立了模型如下:

其中保單的收入為隨機變量Yij。假定:Yij相互獨立，與Yi同分布，分布函數為Fi(x)，期望為 mi，其二階矩存在;理賠額Xij相互獨立，與 Xi同分布，分布函數為 Gi(x)，期望為 μi，且其二階矩存在;以上隨機過程和隨機變量序列都相互獨立。我們稱{X(t)，t≥0}為多險種復合Poisson-Geometric風險模型。

模型(4)與(3)的區別在于:保費的收取不再為常數，而是獨立同分布的隨機序列。

實際背景:Ki(t)表示在時間段內(0，t]內保險公司第i個險種的保單數，保費的收取不為常數，而是獨立同分布的隨機序列，第i個險種的保費收入為Yij，保險公司可以根據歷史數據確定各個險種的其分布；第i個險種理賠額隨機變量Xij，分布函數為Gi(x)，W(t)表示保險公司不確定支付和收益。

本文給出了模型(4)的破產概率所滿足的Lundberg不等式及一般表達式。最后得到了模型 (4)在雙險種情況下的Gerber-Shiu折現罰金函數。

為了保證保險公司的經營穩定，每個險種的單位時間內的保費收入應都大于其單位時間內的理賠，即：

本文恒設式(5)成立。

定義 1 設 λ＞0，0≤ρ＜1，稱{N(t)；t≥0}是參數為 λ，ρ 的復合Poisson-Geometric過程，如果：

(1)N(0)=0

(2){N(t)；t≥0}具有平穩獨立增量

(3)對 t≥0 有 N(t)～PG(λt，ρ)

注3：當ρ=0時，復合Poisson-Geometric過程退化成Poisson過程，可見前者是后者的推廣。

2 最終破產概率上界

容易驗證，由(4)定義的風險過程是具有性質:

性質1 (1)X(0)=0 P-a.s.

(2){X(t)；t≥0}具有平穩獨立增量

(3) 存在正數 r，使得 E[e-rX(t)]＜∞

定理1 對于模型(4)，存在函數g(r)，使得E[e-rX(t)]=etg(r)

證明因為：

故有E[e-rX(t)]=etg(r)。定理結論得證。□

定理2 方程存在唯一的正解。

證明 由式(6)可得：

又因為 MXi(r)是遞增的，且有 0＜ρi＜1，所以存在 ri＞0，使MXi(r)=1/ρi，當 0＜r＜ri時，0＜MXi(r)＜1/ρi(i=1，2，…，n)，取 r0=min(r1，r2，…，rn)故當 0＜r＜r0有 g''(r)＞0。 且 r→r0時有 g(r)→∞，故 g(r)為一下凸函數，則方程g(r)存在唯一的正解R，且0＜R＜r0。

定義2 稱R為調節系數。

設保險公司初始準備金為u，破產時刻為Tu=inf{t≥0|u+X(t)＜0}。 相應的最終破產概率定義為 ψ(u)=P(Tu＜∞)。 定義=σ{X(v);v≤t}。

引理1 Tu是的停時

定理3 令Mu(t)則{Mu(t)，，t≥0}是鞅

證明 由于對任意的t＞v，我們有：

于是定理結論得證。□

定理4 在初始資本為u的條件下，最終破產概率為：

且有 ψ(u)≤e-Ru。

證明 Tu為破產時刻，又對于固定時刻t0，TuΛt0為有界停時，由有界停時

定理，我們有：

這樣式(8)就化為了式(7)。□

3 Gerb er-Sh iu折現罰金函數

為了簡化問題的討論，我們現將多險種模型退化為雙險種的情況，且保費收入退化為常數，這樣我們有盈余過程

在破產發生情況下，我們把破產時刻的赤字記為|U(T)|，破產前瞬時盈余記為U(T-)，記：

式(10)被稱為Gerber-Shiu折現罰金函數，由 Gerber和Shui于 1998 年提出， 其中 v∈(0，1]表示折現因子，ω（X，Y）是有界實函數，稱之為罰金函數，1A是示性函數。

這里我們記F*n(x)=x-t)dF(t)，n≥1為索賠分布 F(x)的 n重卷積，G*n(x)=(x-t)dG(t)，n≥1為索賠分布 G(x)的 n重卷積，其密度函數f(x)，g(x)的n重卷積分別記為 f*n(x)=x-t)df(t)，n≥1 和 g*n(x)=x-t)dg(t)，n≥1。

定理5 在滿足(5)的條件下，模型(4)的Gerber-Shiu折現罰金函數ψ(u，ω,v)滿足下列更新方程：

證明 對于充分小的時間Δt，我們考慮(0，Δt]內發生索賠的情況，分成四種情況:1.兩個險種都沒有發生索賠，2.第一個險種沒有發生索賠，第二個險種發生1次以上索賠，3.第二個險種沒有發生索賠，第一個險種發生1次以上索賠，4.兩個險種都發生一次以上索賠，根據文獻[2]引理6，這種情況相對Δt是高階無窮小。這樣，有全概率公式和文獻[2]引理6，我們有：

整理得：

對式 (7)利用泰勒公式，然后兩邊同時除以cΔt，并令Δt→0，上式化為：

利用文獻[2]引理6，交換積分與求和可以交換，這就得到：

注 4 當 ω(X，Y)≡1，v=1 時，容易知道 ψ(u，ω,v)=ψ(u)，即為破產概率。

這樣我們有：

推論1 破產概率ψ(u)滿足如下更新方程

利用文獻[6]中引理3和定理2我們可以得到下面定理:

定理6 破產概率ψ(u)有下面的表達式

[1]Grandell J.Aspects of Risk Theory[M].New York:Springer Verlag,1991.

[2]毛澤春,劉錦萼.索賠次數為復合Poisson-Geometric過程的風險模型及破產概率[J].應用數學學報,2005,26(3).

[3]毛澤春,劉錦萼.索賠次數為復合Poisson-Geometric過程下破產概率的顯式表達[J].中國管理科學,2007,15(5).

[4]李應求,劉朝才,彭朝暉.不確定條件下企業的投資規模決策[J].運籌學學報,2008,12(2).

[5]李應求,林財超,馮榮麗.湖南省產業結構調整的庫茲涅茨經驗法則實證分析[J].中國經貿,2007,(4).

[6]廖基定,龔日朝,劉再明,鄒捷中.復合 Poisson-Geometric風險模型Gerber-Shiu折現懲罰函數[J].應用數學學報,2007,30(6).

[7]廖基定,劉再明,龔日朝.賠付次數為復合Poisson-Geometric過程的風險模型破產概率上界估計 [J].南華大學學報 (自然科學版),2008,22(3).

[8]劉東海,李博.推廣后的復合Poisson-Geometric過程的風險模型下的破產概率[J].湖南文理學院學報(自然科學版),2006,18(2).

[9]彭朝暉,馮榮麗,李應求.湖南省城鄉收入差距的基本趨勢和影響因素分析[J].長沙理工大學學報(社會科學版),2008,23(1).

[10]于文廣,黃玉娟等.干擾條件下復合Poisson-Geometric過程的多險種風險模型下的破產概率[J].山東大學學報(理學版),2008,43(2).