基于自適應參數高階偏微分方程的圖像平滑

郭三華 ，高竹紅 ，曹麗娟 ， 寧志山 ， 初 玲

(1.煙臺汽車工程職業學院 電子工程系,山東 煙臺265500;2.深圳市中興通訊股份有限公司,廣東 深圳5180550;3.煙臺汽車工程職業學院 科研處,山東 煙臺265500)

圖像平滑作為圖像預處理基本步驟之一，為后繼圖像處理帶來很大方便，最常見圖像平滑方法是線性高斯濾波。KOENDERINK指出圖像I0(x,y)與不同尺度的高斯核卷積所得到的平滑圖像等價于傳導系數為常數的熱擴散方程的解，此解屬于各向同性擴散,在平滑同時造成圖像特征的模糊化[1]。PERONA等提出了如下各向異性擴散模型[2]：

基于上述問題，在圖像平滑時提出了基于自適應的高階偏微分方程圖像平滑方法,避免了傳統P-M方法圖像平滑方法的缺陷，獲取比較好的視覺效果。

1 高階方法的提出

P-M方法處理結果是分段恒定的[5]，容易導致結果圖像“階梯”狀分布，視覺效果不理想。而高階方法的處理結果是分段線性的,在視覺感知上明顯優于P-M方法。

首先，對圖像 I進行坐標變換，將笛卡爾兒(x-y)坐標系轉換到(η-ξ)坐標系下，其中η表示點 p法線方向，ξ表示點p切線方向，[Ix,Iy]為圖像I梯度方向，可得如下變化公式：

根據二維平面的坐標轉換公式有 Iη=(Ixcosα+Iysinα)

其中：

對上式分別進行x和y求導,得到：

進一步得出：

同理可以得出：

定義相關的算子：

再考慮定義在圖像區域Ω上的泛函：

其中 I∈C4(Ω)，函數 F(·)≥0 是遞增函數，即 F′(·)＞0。由算子?定義可知，圖像 I噪聲越大，式(5)的泛函值就越大。所以最小化E(I)就相當于對圖像進行平滑。

式(5)是如下泛函的特殊形式：

根據變分理論，可知式(6)對應的Euler-Lagrange方程為：

于是可以得到式(5)的Euler-Lagrange方程：

式(7)可用梯度下降法求解：

2 自適應閾值的參數估計

參數k的選取是非線性擴散方法的一個主要難題。如何確定擴散的范圍及擴散的程度，使降噪和強化順利進行的同時，圖像信息又不致因過度平滑而大量損失，是應用時需要解決的關鍵問題。傳統確定參數的方法是人為指定一個固定常數。一般來說，不同圖像需要設置不同參數值，后來也有學者提出自動估計梯度閾值的方法，如提出自動估計梯度閾值的公式Sapiro[4]：

由于圖像不同區域邊緣強度分布不一致，噪聲也不同，而且不同尺度空間邊緣強度和噪聲也不一樣，因此對整幅圖像使用同一個全局固定的參數是不合適的。本文提出了自適應閾值參數選擇方法，使得該算法閾值參數可以完全自動確定，真正實現自適應閾值參數非線性濾波。

2.1 閾值參數估計

圖像平滑可看作是一個估計問題：對于圖像上每一點x，觀測圖像在該點鄰域內取值構成一個觀測樣本集，要解決的就是如何從觀測樣本集中估計出原始圖像在該點的真實值u(x)。如果某點x的鄰域Nr中像素點都屬于同一區域，則算子?在Nr內的概率分布為單峰分布；如果鄰域Nr中包含了兩個或多個區域，則?在Nr內概率分布為多峰分布,如圖1所示。

因此，可以按照以下原則選擇點處x的參數k(x)：

(1)若點 x鄰域內樣本算子?為單峰分布(如圖 1(a)所示)，取k(x)為其截止點，即算子?直方圖中絕對值最大非零點；

(2)若點x鄰域內樣本算子?為多峰分布(如圖1(b)所示)，選擇k(x)為算子?直方圖中絕對值最小谷值點。

據上述分析得如下結論：

(1)當鄰域位于區域內部時，可以對圖像盡量進行平滑；

(2)當鄰域內存在多個區域時，平滑尺度不會超過區域邊緣強度最小值，從而盡可能地保持原圖像邊緣等重要信息。

上述分析完全是一種理想化假設，對于實際圖像處理存在如下兩大困難：

(1)由于鄰域內所取樣本有限，從樣本直方圖不能直接得到完全規則分布的曲線，很難正確地選取閾值參數k(x)值。

(2)現實圖像中，即使在同一區域內，平均灰度值往往是變化的，而不是嚴格滿足分段常數模型。

為克服以上問題,采取Mean Shift核平滑方法對算子直方圖進行處理，使其盡可能準確地刻畫多峰分布情況。

2.2 直方圖平滑算法

根據前面分析可知，算子?直方圖可反映概率分布情況，所以可在鄰域Nr內計算?的值來進行直方圖統計。設x點鄰域內算子?統計直方圖為H(d),d=-N,…,N。采用Mean Shift核密度估計方法對直方圖進行平滑[6]。

直方圖平滑效果示例如圖2所示。

為了降低計算復雜度,在估計參數k(x)時，每隔r/2距離計算一次 (r為鄰域半徑)，然后對每個像素點選擇最近鄰的最小值近似為該點閾值參數，并且每一次迭代之后更新參數k(x)值，也可設置每隔若干迭代次數更新一次參數k(x)值，這樣可保證一定精度的前提下，大大提高效率。由于基于直方圖算法復雜度較低，閾值參數估計計算相對于圖像平滑本身計算開銷較小。

3 實驗結果及分析

為了比較自適應參數的高階方法和P-M方法平滑的性能，進行不同實驗并加以分析。

(1)選用若干幅標準圖像進行測試，圖3顯示沒有加入噪聲的Grid圖像平滑效果,從圖中可看出當迭代次數比較多時，P-M方法平滑的部分邊緣明顯被模糊了，而本文方法獲取的效果比較理想。

(2)圖4是對加入噪聲的圖像去噪的實驗結果，圖5給出了對圖4各邊緣的提取結果，其中圖5(b)采用最經典的Canny邊緣提取算子。從圖4和圖5中可看出，PM方法抑制孤立噪聲點和保持圖像邊緣的效果并不十分理想。圖4(b)和圖5(b)中，平滑后天空和地面存在很多孤立噪聲點，建筑物邊緣也很模糊，圖像中細節信息也有較大程度損失。從圖4(c)和圖 5(c)來看，本文方法很好地實現了圖像平滑和保持邊緣的折衷，保證了圖像視覺連續性，其視覺效果明顯優于P-M方法。

對于圖4(b)和圖 4(c)而言，在迭代次數相同的情況下，自適應參數高階方法所能達到峰值信噪比比P-M方法所能達到峰值信噪比要高得多，并且平均耗時比P-M方法增加不到20%。表1為對于Cameraman圖自適應參數高階方法與P-M方法運行時間和峰值信噪比的對比結果。

表1 算法運行時間和峰值信噪比的對比

本文首先對經典P-M方程存在兩大問題進行分析，提出了自適應參數高階偏微分方法，有效解決了PM方法“階梯”效應及其閾值參數選取問題，圖像平滑效果比較好，在耗時相對不長的情況下所能達到的峰值信噪比也P-M方法高。

[1]BARASH D,COMANCIU D.A common framework for nonlinear diffusion,adaptive smoothing,bilateral filtering and mean shift[J].Image and Vision Computing,2004,22(1):73-81.

[2]PERNA P,MALIK J.Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion[J].IEEE Trans on Pattern Anal Machine Intell,1990:12(7):629-639.

[3]YOU Y L,XU W,TANNENBAUM A,et al.Behavioral analysis of anisotropic diffusion in image processing[J].IEEE Trans.Image Processing,1996(5):1539-1553.

[4]WAND M P,JONES M C.Kernel smoothing[M].New York:Chapman&Hall,1995.

[5]BLACK M J,SAPIRO G,MARIMONT D H,et al.Robust anisotropic diffusion[J].IEEE Trans on Image Processing,1998,7(3):421-432.

[6]YOU Y L,KAVEH M.Fourth-order partial differential equations for noise removal[J].IEEE Transactions on Image Processing.2000,9(10):1723-1730.