基于Simulink的取樣鎖相環(huán)非線性分析

李 欣

(華南理工大學(xué) 廣州汽車學(xué)院電子信息工程系，廣東 廣州 510800)

取樣鎖相環(huán)SPLL(Sampling Phase-Locked Loop)是一種數(shù)模混合的鎖相環(huán)路，具有數(shù)字環(huán)與模擬環(huán)的特點(diǎn)。通過(guò)取樣鑒相，環(huán)路可將輸出信號(hào)頻率鎖定在輸入信號(hào)的某次諧波或分頻波上，其特點(diǎn)是寄生輸出小，可實(shí)現(xiàn)高次倍頻和分頻，在現(xiàn)代頻率合成與微波固態(tài)源中有廣泛的應(yīng)用[1]。所以取樣鎖相環(huán)的好壞直接影響整個(gè)系統(tǒng)的性能。要想改善取樣鎖相環(huán)的非線性性能，優(yōu)化系統(tǒng)設(shè)計(jì)，必須要研究取樣鎖相環(huán)的非線性性質(zhì)。目前，關(guān)于取樣鎖相環(huán)的非線性性質(zhì)分析的文獻(xiàn)較少，本文借助Matlab仿真工具箱中的Simulink建立了二階取樣鎖相環(huán)在Simulink環(huán)境下的仿真模型并進(jìn)行仿真，分析了時(shí)間常數(shù)、環(huán)路增益與采樣周期對(duì)捕獲時(shí)間的影響，提出了改善二階SPLL的非線性性能的途徑，優(yōu)化設(shè)計(jì)系統(tǒng)。

1 二階SPLL在Simulink環(huán)境下的仿真模型

取樣鎖相環(huán)有倍頻環(huán)和分頻環(huán)兩種，本文以倍頻環(huán)為例，建立Simulink環(huán)境下的仿真模型。倍頻取樣鎖相環(huán)的電路模型[2]如圖1所示。

令圖中m=1，即將輸出信號(hào)頻率鎖定在輸入信號(hào)頻率的基波頻率上。取樣鎖相環(huán)的近似相位模型如圖2所示。

圖1 取樣鎖相環(huán)

圖2 取樣鎖相環(huán)的相位模型

其中 θ1為輸入的相位信號(hào)，θ2為輸出相位信號(hào)，θe為相位誤差信號(hào) G0(s)為保持器，F(xiàn)(s)為低通濾波器的傳遞函數(shù)，kω/s為壓控振蕩器的拉氏變換 kd為鑒相器增益，kω為壓控器增益。設(shè)輸入的突變信號(hào)θ1(t)為單位斜升信號(hào)，且令 kd=1，則 K(環(huán)路增益)=kdkω=kω(這種假設(shè)不影響取樣鎖相環(huán)的非線性特性)，則二階取樣鎖相環(huán)在Simulink環(huán)境下的仿真模型如圖3所示(采用零階保持器)[3]。

圖3中示波器測(cè)得取樣鎖相環(huán)的輸出信號(hào) θ1，示波器1測(cè)得相位誤差信號(hào)θe。圖中得到的模型是連續(xù)模型，必須將其轉(zhuǎn)化為離散模型進(jìn)行仿真。在Simulink環(huán)境Tools下，Model descretizer的下拉選項(xiàng)中選定模型 Z變換的方法(零階保持)；在Sample time中輸入采樣周期T；在Replace selection with的下拉選項(xiàng)中選定變換后的模型參數(shù)顯示(Discrete blocks(Enter parameters in z-do main))，最后進(jìn)行模型轉(zhuǎn)換，即可得到變換后的離散模型，從而可以方便地仿真出不同參數(shù)條件下系統(tǒng)的輸出信號(hào)及相位誤差信號(hào)。

2 二階取樣鎖相環(huán)的非線性特性

本文以二階無(wú)源比例積分取樣鎖相環(huán)(即取樣鎖相環(huán)的低通濾波器采用無(wú)源比例積分濾波器)為例，進(jìn)行取樣鎖相環(huán)在不同條件下的Simulink仿真。

無(wú)源比例積分濾波器傳遞函數(shù)的拉氏變換[4]為：

將式(1)帶入到圖3的Simulink模型中，并進(jìn)行模型轉(zhuǎn)換與仿真，從而得到在不同條件下的系統(tǒng)輸出和相位誤差信號(hào)波形。

輸入相位信號(hào)θ1為單位斜升信號(hào)的波形，如圖4所示。

2.1 非線性性能與時(shí)間常數(shù)的關(guān)系[5]

(1)當(dāng)環(huán)路增益、采樣周期和時(shí)間常數(shù) τ2固定(K=10，T=0.05 s，τ2=1)時(shí)，改變時(shí)間常數(shù) τ1，τ1分別為 2、6、10、20，二階無(wú)源比例積分取樣鎖相環(huán)的相位誤差信號(hào)θe的仿真圖如圖5所示。從圖中讀出固定環(huán)路增益、采樣周期與時(shí)間常數(shù) τ2改變時(shí)間常數(shù) τ1的環(huán)路捕獲時(shí)間相關(guān)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 τ1改變時(shí)捕獲時(shí)間的變化

由表1得出隨著時(shí)間常數(shù)τ1的增大，環(huán)路捕獲時(shí)間會(huì)相應(yīng)地增大，并且τ1越大，環(huán)路捕獲過(guò)程呈振蕩型，輸出曲線越不平滑。

(2)當(dāng)固定環(huán)路增益、采樣周期與時(shí)間常數(shù) τ1，改變時(shí)間常 數(shù) τ2。 增大 τ2相當(dāng)于減小 τ1；減小 τ2，相當(dāng)于增大τ1。所以改變時(shí)間常數(shù)τ2對(duì)無(wú)源比例積分取樣鎖相環(huán)特性的影響與改變?chǔ)?時(shí)是相反的。

2.2 非線性特性與環(huán)路增益的關(guān)系

當(dāng)時(shí)間常數(shù) τ1、τ2與采樣周期 T 固定(τ1=2，τ2=1，T=0.05 s)，改變環(huán)路增益 K 分別為 5、10、50、100 時(shí)，二階無(wú)源比例積分取樣鎖相環(huán)的相位誤差信號(hào)θe的仿真圖如圖6所示。從圖中讀出固定時(shí)間常數(shù)與采樣周期，改變環(huán)路增益的捕獲時(shí)間，相關(guān)數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 K改變時(shí)捕獲時(shí)間的變化

由表2得出隨著環(huán)路增益K的增大，捕獲時(shí)間會(huì)相應(yīng)減小；但是當(dāng)K增大到一定程度后，環(huán)路可能進(jìn)入失鎖狀態(tài)，二階無(wú)源比例積分取樣鎖相環(huán)可能將無(wú)法跟蹤輸入信號(hào)。

2.3 非線性特性與采樣周期的關(guān)系

當(dāng)時(shí)間常數(shù) τ1、τ2與環(huán)路增益 K 固定(τ1=2，τ2=1，K=10)，采樣周期 T 分別為 0.05 s、0.2 s、0.3 s、0.5 s時(shí)，二階無(wú)源比例積分取樣鎖相環(huán)的相位誤差信號(hào)θe的仿真圖如圖7所示。從圖中讀出固定時(shí)間常數(shù)與環(huán)路增益，改變采樣周期的捕獲時(shí)間，相關(guān)數(shù)據(jù)如表3所示。

表3 T改變時(shí)捕獲時(shí)間的變化

由表3可見(jiàn)，隨著采樣周期T的增大，捕獲時(shí)間會(huì)相應(yīng)減小，曲線變得越來(lái)越不平滑；但是當(dāng)T增大到一定程度后，捕獲時(shí)間反而加大，且取樣鎖相環(huán)的穩(wěn)態(tài)相差逐漸增大，系統(tǒng)穩(wěn)定性能變差，環(huán)路可能會(huì)進(jìn)入失鎖狀態(tài)，二階無(wú)源比例積分取樣鎖相環(huán)可能將無(wú)法跟蹤輸入信號(hào)。

大量的仿真結(jié)果表明，當(dāng)時(shí)間常數(shù)、環(huán)路增益與采樣周期選擇合理時(shí)，二階取樣鎖相環(huán)最終都可以鎖定輸入信號(hào)。但是，當(dāng)三者之中有任何一個(gè)發(fā)生改變時(shí)，都會(huì)影響到取樣鎖相環(huán)的非線性特性。

對(duì)于二階無(wú)源比例積分取樣鎖相環(huán)，為了快速捕獲輸入信號(hào)，分析如下：

(1)當(dāng)環(huán)路增益與采樣周期一定時(shí)，應(yīng)適當(dāng)減小時(shí)間常數(shù) τ1/τ2的比值。

(2)當(dāng) τ1/τ2的比值與采樣周期一定時(shí)，應(yīng)適當(dāng)增大環(huán)路增益。但也不能過(guò)大，以免鎖相環(huán)進(jìn)入失鎖狀態(tài)。

(3)當(dāng) τ1/τ2的比值與環(huán)路增益一定時(shí)，應(yīng)適當(dāng)增大采樣周期。但也不能過(guò)大，以免鎖相環(huán)進(jìn)入失鎖狀態(tài)。

本文利用Simulink工具箱建立了二階取樣鎖相環(huán)的相位模型，分析了時(shí)間常數(shù)、環(huán)路增益與采樣周期等因素對(duì)非線性捕獲時(shí)間的影響。同時(shí)，采用Simulink建模和仿真的方法進(jìn)行取樣鎖相環(huán)的設(shè)計(jì)與優(yōu)化，即方便又靈活，對(duì)電子工程設(shè)計(jì)將達(dá)到事半功倍的效果。

[1]SZABO Z，KOLUMBAN G.How to avoid false lock in SPLL frequency synthesizers[J].IEEE Trans.On Instrumentation and Measurement， 2003，52(3)∶927-931.

[2]KOLUMBAN G，VIZVARIB.Nonlinear dynamics and chaotic behavior of the Sampling Phase-locked Loop[J].IEEE Trans.On Instrumentation and Measurement，1994，41(4)∶333-337.

[3]王正林，王勝開(kāi).MATLAB/Simulink與控制系統(tǒng)仿真[M].北京：電子工業(yè)出版社，2005.

[4]姜占才.二階鎖相環(huán)非線性捕獲與非線性跟蹤性能研究[J].電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，3∶31-34.

[5]張永泰，劉侃，劉洛琨.一種用 MATLAB仿真鎖相環(huán)的方法[J].無(wú)線電工程，2004，34(7)∶47-49.