一道競賽題的三種解法

郎 軍 董洪瓊

(重慶11中,重慶 400061)

題目.將質量為m的小球以水平速度v0拋出,小球在運動中受到的空氣阻力與小球的速度成正比,f=-kv,k為比例常數.經過一段時間后,小球速度的偏向角為θ,求此時小球的速度v和運動的水平位移x.重力加速度為g.

圖1

解法1:微元法

將運動時間t等分成n段,則每一段的時間令n→∞,則Δt→0,在每小段的時間內可以認為加速度不變.

將運動沿水平方向和豎直方向正交分解,當速度大小為v,方向與初速度方向成α時,物體在x方向的合力大小為加速度大小為在y方向的合力大小為加速度大小為

設vix表示經過iΔt后小球在x方向上的速度,則有

由上面的遞推關系可得

設viy表示經過iΔt后小球在y方向上的速度,則有

根據題意有

由(1)～(3)式消去pn可得

在水平方向上,速度的減少量為

小蟲不懂那段錄音有多大威力，但姑父這么說，說明錄音對姑父很重要，對姑媽對自己都很重要。小蟲說，找楊律師幫你呢。姑父搖搖頭，現在誰也幫不了我。小蟲說姑父，我幫你要回錄音吧。姑父就等小蟲這句話了，點點頭說，那女人很狡猾，我怕你對付不了她。小蟲打了個酒嗝，酒勁又上來了，一拳砸在桌上，兩個酒杯都震倒了。小蟲說一個女人我都對付不了，我在凌州還怎么混？

所以

解法2:等效法

圖2

物體的初速度為v0,設想物體還同時具有兩個分別豎直向上和豎直向下的初始速度v1,由于這兩個速度相抵消,它沒有改變物體的初始運動條件.將向上的分速度v1與v0合成為v2,v2與v0的夾角設為α,則有

這樣物體的運動可以等效為沿v2的方向做加速度逐漸減小的減速運動,在豎直向下的方向下以的速度勻速運動,因為該方向上的空氣阻力的分力(f1=kv1=mg)與重力平衡.

圖3

經過一段時間后,在v2方向上的速度減小為v2′,合速度大小變為v,方向與v0方向的夾角變為θ.v是v1和v2′的合矢量,如圖3所示.由正弦定理有

化簡有

將(1)式代入(2)式消去cosα,sinα化簡可得

水平位移x的求法同解法1.

解法3:積分法

物體在x方向上的微分方程為整理后有兩邊同時積分后有

根據初始條件,t=0時,vx=v0,所以C=v0.因此有

在豎直方向上由牛頓第二定律有

整理后有

兩邊同時積分得

化簡得

當t=0時,vy=0,所以因此有

由題意,當速度偏向角為θ時

水平位移x的求法同解法1.

點評:微元法和等效法是中學物理競賽中常用的思維方法,在平時的競賽教學中應重點訓練.積分法涉及到高等數學的知識,超越了中學生的理解范圍,但對從事競賽指導的教師而言,不可不知.