運(yùn)用洛倫茲力分量式的推論巧解物理難題

陳國(guó)良

(蘇州市第一中學(xué)校,江蘇蘇州 215006)

1 推論

圖1

我們知道,一帶電粒子電荷量為 q,在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),速度大小為 v、方向垂直于磁場(chǎng)方向,則該粒子受到的洛倫茲力的大小 f=qvB、方向垂直于B和v.如圖1所示,帶電粒子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,在y方向上的分速度vy產(chǎn)生x方向的洛倫茲力fx;在x方向上的分速度vx產(chǎn)生y方向的洛倫茲力fy.由此得到洛倫茲力x方向上的分量式為

由牛頓第二定律,有

由(1)、(2)式得

將(3)式積分,得到如下推論

(4)式為勻強(qiáng)磁場(chǎng)中在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的帶電粒子在y方向上分運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式.從推導(dǎo)過(guò)程可以看出,此推論不僅適用于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的帶電粒子,只要帶電粒子在 x方向上除受洛倫茲力的作用外,不受其他外力作用或其他外力的合力為零,不管粒子速度大小是否變化、運(yùn)動(dòng)路徑如何,此推論都成立(實(shí)質(zhì)為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的分量式).

同理,在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的帶電粒子,在 y方向上除受洛倫茲力的作用外,不受其他外力作用或其他外力的合力為零,不管粒子速度大小是否變化、運(yùn)動(dòng)路徑如何,由洛倫茲力分量式fy=qvxB,可得到其在x方向上分運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為

2 解題

在磁場(chǎng)中,一些復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題求解,如果采用常規(guī)方法可能很困難,但如果運(yùn)用洛倫茲力分量式的推論,可以簡(jiǎn)單、巧妙地解決.

圖2

例1.如圖2所示,A1和 A2是兩塊面積很大、互相平行又相距較近的帶電金屬板,相距為d,兩板間的電勢(shì)差為U.同時(shí),在這兩板間還有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng).一電子(重力不計(jì))由左側(cè)帶負(fù)電板 A1上的小孔O靜止釋放,為使該電子不碰到右側(cè)帶正電的板 A2,問(wèn)所加磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度至少要多大?

解析:電子在電場(chǎng)力作用下開(kāi)始向右加速運(yùn)動(dòng),同時(shí)受到洛倫茲力作用而向上偏轉(zhuǎn).為使電子不碰到右板 A2,臨界條件是當(dāng)電子到達(dá)板 A2時(shí),速度方向剛好與板 A2平行.

電場(chǎng)力水平向右,在豎直方向上電子只受洛倫茲力作用,滿足公式(5)的適用條件,有

在電子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,電場(chǎng)力做正功,洛倫茲力不做功,由動(dòng)能定理有

本題電子運(yùn)動(dòng)的軌跡既不是拋物線,又不是圓弧,在中學(xué)階段要求解磁感應(yīng)強(qiáng)度十分困難.若用上述洛倫茲力分量式的推論,可以簡(jiǎn)單方便地解決問(wèn)題.

例2.(2008年江蘇高考物理題)在場(chǎng)強(qiáng)為B的水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,一質(zhì)量為m、帶正電q的小球在O點(diǎn)靜止釋放,小球的運(yùn)動(dòng)曲線如圖3所示.已知此曲線在最低點(diǎn)的曲率半徑為該點(diǎn)到 x軸距離的2倍,重力加速度為g.求

(1)小球運(yùn)動(dòng)到任意位置 P(x,y)的速率 v.

(2)小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中第一次下降的最大距離ym.

圖3

(2)設(shè)在最大距離 ym處的速率為 vm,由圓周運(yùn)動(dòng)有

(3)小球運(yùn)動(dòng)如圖4所示,由動(dòng)能定理得

圖4

由圓周運(yùn)動(dòng)得

且

解得

本題第(2)問(wèn)可以運(yùn)用洛倫茲力分量式的推論求解:由于小球在水平方向上除洛倫茲力外不受其他外力作用,滿足公式(4)的適用條件,有

由于洛倫茲力不做功,由動(dòng)能定理得

即

所以

類(lèi)似地,運(yùn)用洛倫茲力分量式的推論求解第(3)問(wèn):由于帶電小球在水平方向只受洛倫茲力作用,滿足公式(4)的適用條件,有

小球從O點(diǎn)靜止釋放后,因洛倫茲力不做功,由動(dòng)能定理得

由以上兩式即可解得

運(yùn)用洛倫茲力分量式的推論解題,題干中的條件“此曲線在最低點(diǎn)的曲率半徑為該點(diǎn)到 x軸距離的2倍”就不必要了,解答更加簡(jiǎn)潔.

我們還可以將例2題目拓展,運(yùn)用洛倫茲力分量式的推論來(lái)求解第(1)問(wèn)中的速度方向.