兩個連通球形液膜有平衡狀態

李詠梅

(濟寧學院物理系,山東 曲阜 273155)

近年來,出現了不少關于連通肥皂泡或是球形液膜(以下簡稱液泡,如肥皂泡)動態特性的討論[1-4].有些研究認為,當大小不同的兩個液泡連通后,小泡不斷縮小,大泡不斷增大,當小泡縮小到半球面形狀后,還要繼續縮小,但這時曲率半徑反而增大,當它和大泡曲率半徑相同時便趨于穩定[3,4].有些研究直接基于這一理論,對連通后大小泡的變化進行模擬與闡釋[1,2].筆者認為這些討論不夠深入,這里擬對此進行深入的討論,并計算兩球形液膜的動態和平衡態,同時研究氣體傳輸過程中液泡的動態規律,對于區分理解兩個大小不同的連通肺泡在人體呼吸過程中的變化特性具有一定的參考價值[4].

圖1

1 兩個球形液膜理論推導

球形液膜由于受液體表面張力的作用,導致液泡內外氣體壓強間存在一定的壓強差,該壓強差通常稱為附加壓強,其大小為其中α為液體表面張力系數,r為球形液泡的半徑[5].如圖1,用細短管連通A、B兩大小不等的液泡,設其初態半徑為R1、R2,液泡內氣體質量為m10、m20,液體表面張力系數為α.由于附加壓強的緣故,A內壓強大于B內壓強,氣體將從小液泡A流向大液泡B.設其動態半徑為r1、r2,液泡內氣體質量為m1、m2.因液泡內壓強接近大氣壓強p0,溫度是常溫,故可按理想氣體處理.由于A、B兩液泡間的細短管內徑很小,液泡的動態壓強可近似滿足體積分別為將其分別代入理想氣體狀態方程中,可得動態氣體狀態方程

(1)、(2)式中,μ為摩爾質量,R為氣體普適恒量,T為氣體的熱力學溫度.將氣體傳輸過程視為等溫過程,則初態氣體狀態方程為

因系統在動態過程中質量守恒,則由(1)～(4)式可得

得動態半徑r1與r2的近似函數式為

設細短管截面積為S,則氣體沿管道等溫流動時,單位時間A泡內氣體流到B泡內的分子數為

單位時間B泡內氣體通過細短管流到A泡內的分子數為

其中M是一個氣體分子的質量.將(8)、(9)式代入(10)式得

由(1)式微分可得,在時間dt內,A液泡內氣體的質量變化量為

顯然dm=-dm′,即有

但此反應脂肪酸中的不飽和雙鍵也會發生氫化反應，常用該反應將植物油氫化為長鏈的脂肪醇，若要避免此類還原反應的發生，可用銅、鎘的氧化物或其皂鹽催化。

將(7)式代入(14)式,兩邊積分可得

其中積分下限R1和上限r1分別為液泡A的初態半徑和動態半徑.

同理也可得時間t與液泡B的半徑r2的關系式

其中積分下限R2和上限r2分別為液泡B的初態半徑和動態半徑.

則T(r1)、T(r2)就可以反應大小泡的動態變化情況.

2 液泡A收縮到球冠形的理論推導

液泡A的半徑r1與細管的半徑R0相當時,此時液泡A就不能看成球形,而應是球冠形,如圖2所示(圖2(a)為球冠形與球形液泡連通模型圖,圖2(b)為液泡A幾何關系放大圖).其中球冠半徑為r1,冠高h,冠底半徑等于管子半徑R0,液泡B仍為球形,半徑為r2.

圖2

同理由(1)、(2)、(19)、(20)式可得

由圖2(b)的幾何關系知

同理由(10)～(12)式得

將(21)、(22)式代入(23)式,兩邊積分可得液泡A變化時間為

同理也可得液泡B的變化時間t與h的關系式仍為(24)式.

圖3

圖4

圖5

因r1、r2與h存在關系式(21)、(22),可作T(r1)、T(r2)關系曲線反應大小泡的動態變化情況.由于T(r1)、T(r2)為不可積函數,可取球形液膜初態半徑R1=25mm、R2=30mm、R0=2mm,利用Matlab7.0做數值積分并繪圖,進行定性分析,得到T(r1)、T(r2)理論曲線如圖3所示.液泡A變成球冠形后T(r1)理論曲線如圖4所示.液泡A變成球冠形后T(r2)理論曲線如圖5所示.

4 分析與討論

(1)從圖3曲線可見,在小液泡A從r1=25mm萎縮到r1=20mm的初始階段,T(r1)隨r1的減小快速增大;當r1減小到15mm后,T(r1)隨r1的減小很緩慢地增大.具體解釋見參考文獻[2].

(2)當r1=R0以后,液泡A是球冠,r1的變化如圖4,T(r1)隨r1由小變大,且到r1=34.87mm時T(r1)變大r1=34.93mm保持一個定值.r2的變化如圖5,T(r2)隨r2變大而變大,且到r2=34.93mm時T(r2)變大r2=34.93保持一個定值,在圖3上交于一點,此時就是平衡狀態.

綜上所述,我們可以得到如下結論:當大小不同的兩個液泡連通后,由于較小的泡內的附加壓強較大,氣體就會被壓入大泡,因此小泡不斷縮小,大泡不斷增大.隨著小泡的不斷縮小,其表面張力不斷變大,它將加速萎縮.隨著大泡不斷增大,其表面張力不斷變小,當達到一定時刻,它將有可能發生破裂.因此,兩液泡能否變到曲率半徑相同的穩定狀態,是由表面張力系數,原初始狀等外界條件決定.

5 結論

本文討論了表面張力系數相同的液體構成的兩球形液膜連通的動態特性,得到兩液泡連通后,小泡不斷縮小,大泡不斷增大;兩液泡變到曲率半徑相同的穩定狀態是在大液泡不發生破裂時才成立.由附加壓強公式我們可以推論,若是表面張力系數分別為α1、α2(α1≠α2)的液體構成的半徑分別為r1、r2(r1≠r2)的液泡,滿足條件則產生相同的附加壓強.也就是說表面活性物質濃度不同的液泡相連通,若的值相同,則將會保持平衡,這也正是肺泡的工作原理[6].

1 唐玄之,王琦等.大小肥皂泡連通后的討論與計算.大學物理,2007,26(10):20-23

2 王云創,李德堯等.兩個連通型球形液膜動態特性的研究.大學物理,2004,23(5):33-36

3 薛萬華,劉月成等.物理化學簡明教程.北京:地震出版社,2001.305

4 周衍椒,張鏡如.生理學.北京:人民衛生出版社,1989.188-229

5 黃淑清,聶宜如等.熱學教程(第2版).北京:高等教育出版社,1994.255,343

6 王玢,左明雪.人體及動物生理學(第2版).北京:高等教育出版社,2001.250