從高斯公式到高斯定理＊

陳修芳

（武漢工業(yè)學(xué)院，湖北 武漢 430023）

俗話說，“數(shù)理不分家”，主要是說數(shù)學(xué)中的理論來源于物理實踐，反過來又可以應(yīng)用于物理。理論上，大學(xué)物理教師的主要任務(wù)是提出物理概念，建立物理模型，至于模型計算如求導(dǎo)積分等只要交給學(xué)生利用數(shù)學(xué)工具去解決就可以了。

數(shù)學(xué)中的高斯公式是曲面積分的一個重要公式。設(shè)空間區(qū)域V由分片光滑的雙側(cè)封閉曲面S圍成。若函數(shù)P，Q，R在V上連續(xù)，且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則：

而高斯定理是靜電學(xué)中的一個重要定理。［2］在靜電場中，高斯定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

教科書上一般都是利用點電荷的電場線的特點和位于球面球心的點電荷在球面上產(chǎn)生的電通量這個特例及電場線的特點和電場強度的疊加原理來證明高斯定理，［3］這種證明雖然較為簡單，但學(xué)生較難理解。下面利用高斯公式推導(dǎo)高斯定理：

見圖1，閉合曲面為球面S（方程 x2＋y2＋z2＝R2），其所圍的立體為V，單位正電荷q放在球心。點電荷在球面上的電場強度為是由點電荷q指向球面的單位矢量。由于球面指向外側(cè)的法向量為故通過高斯面的電通量可寫成：

根據(jù)高斯公式，有：

若包含點電荷的閉合曲面為任意的，由于電場線不會在無電荷的地方中斷，因此，通過任意閉合曲面的電通量與上式相等，若高斯面內(nèi)包含多個電荷，根據(jù)矢量疊加原理，就可以得出高斯定理

圖1 高斯面上電場強度示意圖

高斯公式和高斯定理雖然表面形式不同，但從高斯公式推導(dǎo)出高斯定理，不僅使我們在電磁學(xué)中較容易地引進(jìn)高斯定理，而且使學(xué)生對高斯定理有比較準(zhǔn)確地、深刻地理解，更重要的是對學(xué)生綜合運用所學(xué)知識的能力的一個訓(xùn)練，收到較好的效果。

1 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第五版）［M］.北京：高等教育出版社，2005

2 施傳柱.關(guān)于高斯定律應(yīng)用的探討［J］.曲靖師專學(xué)報，1996（6）：20～21

3 馬文蔚.物理學(xué)中冊（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2008