為AutoCAD新增三種畫圓弧的方式

楊雙富

(云南一九八煤田地質(zhì)勘探隊(duì)，云南昆明 650208)

為AutoCAD新增三種畫圓弧的方式

楊雙富?

(云南一九八煤田地質(zhì)勘探隊(duì)，云南昆明 650208)

在AutoCAD中，利用Visual LISP作為二次開(kāi)發(fā)工具，為其增加已知弧長(zhǎng)及弦長(zhǎng)、已知弦長(zhǎng)及弓高、已知弧長(zhǎng)及弓高繪制圓弧的3種方式，解決了這3種已知條件下求圓弧半徑及畫圓弧的難題。

Visual LISP；圓弧；非線性方程；牛頓迭代法；二次開(kāi)發(fā)

1 前 言

已知弧長(zhǎng)及弦長(zhǎng)、已知弦長(zhǎng)及弓高、已知弧長(zhǎng)及弓高求圓弧半徑不僅是計(jì)算幾何的問(wèn)題，也是工程設(shè)計(jì)和施工中常遇到的問(wèn)題，由于列出求解的方程中含有三角函數(shù)，為非線性方程，采用常規(guī)算法很難求解。AutoCAD是目前使用率最高的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)軟件之一，它根據(jù)圓弧的起點(diǎn)、終點(diǎn)、圓心、半徑、圓心角等基本參數(shù)有效組合，一共提供了10種不同繪制圓弧的方式，基本滿足用戶的需求，但其中卻沒(méi)有上述3種已知條件下繪制圓弧的方法，為此文中利用Visual LISP作為二次開(kāi)發(fā)工具，按非線性方程的牛頓迭代法編程解算出圓心角、半徑，并實(shí)現(xiàn)了圓弧的高精度繪制。

2 圓弧半徑求解數(shù)學(xué)模型

2.1 根據(jù)已知條件，求解半徑方程

任取一圓弧如圖1所示，P1、P2為圓弧的起點(diǎn)和止點(diǎn)，P1、P2間的弧長(zhǎng)為L(zhǎng)，弦長(zhǎng)為C，圓弧的弓高為h，設(shè)圓弧的半徑為R，所對(duì)應(yīng)的圓心角為x，根據(jù)已知弧長(zhǎng)L及弦長(zhǎng)C、弧長(zhǎng)L及弓高h(yuǎn)、弦長(zhǎng)C及弓高h(yuǎn)三個(gè)條件，則求半徑及圓心角的相應(yīng)方程組見(jiàn)表1第2行，因圓心角x在0～2π之間，為方便后述選取迭代初值，故按消元法消去半徑R，得到以圓心角為未知數(shù)的一元非線方程列入表1中的第3行。

圖1 圓弧示意圖

求解圓心角方程式 表1

2.2 圓心角、半徑求解

由于列出求解圓心角的方程中含有三角函數(shù)，為非線性方程，根據(jù)牛頓迭代法，其求解的迭代計(jì)算式如下:

式中的f(xi)、f′(xi)見(jiàn)表1，迭代精度取ε＝10－10，當(dāng)?shù)Y(jié)束后，按表1中最后一行計(jì)算半徑。

2.3 迭代初值選取

根據(jù)牛頓迭代法解非線性方程初值選取規(guī)則[f(x0)f″(x0)〉0]，經(jīng)分析和測(cè)試，初值選取表中倒數(shù)第二行的數(shù)據(jù)時(shí)，迭代均收斂，可較為精確地解算出圓心角，從而精確地計(jì)算出半徑。

3 實(shí)現(xiàn)畫圓弧方的步驟和Visual LISP程序

3.1 畫圓弧的步驟

(1)由已知數(shù)據(jù)，按牛頓迭代法解算出圓弧的圓心角，并計(jì)算出半徑；

(2)任選一點(diǎn)P1作為圓弧的起點(diǎn)，根據(jù)已知數(shù)據(jù)和已解算出圓心角、半徑，按圓弧起點(diǎn)至止點(diǎn)的角度為0、距離為弦長(zhǎng)計(jì)算出止點(diǎn)P3，再由P1點(diǎn)、P3點(diǎn)及弓高計(jì)算圓弧的中點(diǎn)P2；

(3)以三點(diǎn)畫圓弧命令繪出圓弧，并以P1點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，動(dòng)態(tài)將圓弧旋轉(zhuǎn)到指定的止點(diǎn)方向。

3.2 Visual LISP程序

4 應(yīng)用實(shí)例

(1)將上述Visual LISP程序以文件名arc1.lsp保存；

(2)啟動(dòng)AutoCAD，將arc1.lsp加載；

(3)在命令行鍵入arc1并回車，按照提示輸入數(shù)據(jù)就可進(jìn)行計(jì)算和繪制圓弧，如表2為圓弧的已知數(shù)據(jù)，表3為計(jì)算出的圓弧半徑；

圓弧已知數(shù)據(jù) 表2

計(jì)算出的圓弧半徑 表3

(4)以下為YH3按弧長(zhǎng)弓高繪制圓弧的操作過(guò)程及所繪圓弧與原圓弧特性截圖。

圖2 圓弧特性截圖

5 結(jié) 語(yǔ)

(1)在已知弧長(zhǎng)及弦長(zhǎng)、已知弦長(zhǎng)及弓高、已知弧長(zhǎng)及弓高以及選擇適當(dāng)初值的條件下，以Visual LISP作為開(kāi)二次發(fā)工具，按非線性方程的牛頓迭代法編程解算圓心角并計(jì)算出半徑的方法，不但收斂速度很快而且準(zhǔn)確，從而實(shí)現(xiàn)了圓弧的高精度繪制，是對(duì)Auto-CAD圓弧繪制功能的有益補(bǔ)充。

(2)限于篇幅，程序中未對(duì)輸入的數(shù)據(jù)有效性(即能否組成圓弧)、繪制圓弧的順或逆時(shí)針?lè)较虻燃?xì)節(jié)進(jìn)行處理，請(qǐng)讀者自行完善。另外，也可為這種繪制圓弧方法創(chuàng)建菜單或工具欄按鈕，以方便操作，提高效率和精度。

[1]翟瑞彩，謝偉松.數(shù)值分析[M].天津:天津大學(xué)出版社，2000

[2]段紅梅，周明，胡仁喜等.AutoCAD 2000(中文版)自學(xué)教程[M].北京:清華大學(xué)出版社，2000

[3]孫江宏，丁立偉，米潔.Visual LISP R14～2000編程與應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社，1999

AutoCAD Drawing for the New Arc Three Kinds of Ways

Yang ShuangFu
(198 coal geological exploration teams in Yunnan，Yunnan 650208，China)

In the AutoCAD，using Visual LISP as a secondary development tools，known for its increase in arc length and chord length，chord length and arch of known high，known to draw the circular arc and bow－h(huán)igh three ways，resolved under the conditions of these three are known to seek arc radius and arc drawing problems.

Visual LISP；arc；non－linear equations；Newton's iterative method；secondary development

1672－8262(2010)03－113－03

P209

B

2009—10—16

楊雙富(1967—)，男，高級(jí)工程師，主要從事工程測(cè)量工作。