關于“用水平面代替水準面的限度”的再討論

過家春，高飛，田勁松

(1.合肥工業大學土木與水利工程學院，安徽合肥 230009； 2.安徽農業大學理學院，安徽合肥 230036)

關于“用水平面代替水準面的限度”的再討論

過家春1，2?，高飛1，田勁松2

(1.合肥工業大學土木與水利工程學院，安徽合肥 230009； 2.安徽農業大學理學院，安徽合肥 230036)

基于正射方位投影理論，重新分析了測量學課程現行教材中關于“用水平面代替水準面的限度”的論題，得出有益結論，并提出相應的修改建議。

水準面曲率；正射方位投影；長度變形

1 引 言

測量學是測繪工程專業的專業基礎課，亦是眾多非測繪專業的公共基礎課。該課程所使用的現行教材大多數都有“用水平面代替水準面的限度”一節的論述。文獻[1，2，3]分別從不同角度對傳統教材中該節內容論述的合理性、正確性予以討論。筆者在教學過程中也逐漸發現這一問題，認為該論題仍有進一步深入研究的必要。本文在分析上述文獻論述的基礎上，指出存在問題，并從地圖投影學的角度出發，進一步系統闡述相關概念，認為以透視方位投影中的正射投影模型研究該論題更具合理性。

2 對現行教材中“用水平面代替水準面的限度”論述的再認識

現行教材中關于“用水平面代替水準面的限度”一節的論述在各類測量學的教材中基本相同，限于篇幅，此不贅述，讀者可參閱文獻[4]。該論述中，關于水準面曲率對高差的影響，已經是沒有爭議的；關于水準面曲率對距離及角度的影響，文獻[2]及文獻[3]分別指出其脫離實際、與高斯投影理論相矛盾等。而實際上，現行教材中的論述對其討論的依據、原理等諸多方面并未表述清楚，合理性也有待商榷。文獻[2，3]的論述也都存在一定的片面性和局限性。筆者認為，應該從以下幾個方面重新認識這一問題:

(1)由大地測量學及地圖投影理論我們知道，大地水準面是外業測量的基準面，地球橢球面是控制測量計算的基準面，而地圖投影的過程是將橢球面上的各元素歸算到平面上的過程，在進行地圖投影前必須先將地面觀測元素歸算到橢球面上。所以，現行教材中的論述的依據是基于未考慮大地水準面與地球橢球面的差異的前提下，即未考慮大地水準面差距及垂線偏差，同時將橢球近似當成圓球看待的。對局部區域而言，將橢球進一步簡化為圓球是合理的[5，6]。

(2)現行教材中的論述分別從對距離、角度、高差3個方面的影響來研究。其中，地球曲率對高差的影響即使在很短的距離內也必須加以考慮是毫無爭議的。以球面角超理論研究水準面曲率對角度的影響筆者認為也是合理的，文獻[3]的論斷實際上是基于高斯投影理論考慮的。因此，本文討論的重點是“用水平面代替水準面的限度”中的對距離方面的影響。

(3)現行教材中的論述實際上是基于透視方位投影中的球心投影進行闡述的，而文獻[2]和文獻[3]的論述局限于高斯投影理論。由于普通測量工作是把三維空間分解為平面坐標系統和高程系統，所以，研究“用水平面代替水準面的限度”的一個重要目的是為建立獨立平面直角坐標系的區域限度尋求理論依據。事實上，建立獨立平面直角坐標系既不是基于高斯投影，也不是球心方位投影。由于任何小塊地區的平面圖都可視為正射投影圖[7]，故以正射方位投影來研究“用水平面代替水準面的限度”中的對距離方面的影響實際上更為合理。

3 基于正射方位投影理論的“用水平面代替水準面的限度”的長度變形分析

3.1 透視方位投影原理[7，8]

透視方位投影根據視點距離球心的距離D的大小不同可分為球心投影(D＝0)、球面投影(D＝R)、外心投影(R＜D＜∞)及正射投影(D→∞)。

透視方位投影的一般公式為

式中，L＝R＋D。

當D＝0時，可得球心投影的公式

當D→∞時，對式(1)取極限，即得正射投影的公式

3.2 正射方位投影與球心方位投影的長度變形比較與分析

由式(2)、式(3)可知，球心方位投影中沿垂直圈與等高圈的長度比分別是μ1＝sec2Z和μ2＝secZ；正射方位投影沿垂直圈與等高圈的長度比分別是分別μ1＝cosZ和μ2＝1。因為垂直圈與等高圈投影后相互正交，所以μ1、μ2也就是變形橢圓的極值長度比。

現行教材中的論述，實際上僅論述了球心方位投影沿垂直圈方向的長度變形，而未涉及沿等高圈方向的長度變形。當然，該投影沿垂直圈方向的長度變形更大。

對于正射方位投影，沿垂直圈方向的長度變形比μ1＝cosZ＜1，而沿等高圈方向的長度無變形(μ2＝1)。

設垂直圈方向弧長S投影后為ρ，則投影變形

將sinZ按級數展開，得

因為Z值很小，略去5次冪以上高次項，將式(5)帶入式(4)，并考慮得

對式(6)兩端同除以S并取絕對值，得相對誤差

此結論亦可按下式較為容易的獲得:

根據上述討論，按正射方位投影的變形規律，用水平面代替水準面對距離的影響，在容許誤差范圍內的測區面積還可以進一步擴大:可以認為在半徑20 km的范圍內，以水平面代替水準面所產生的距離誤差，可以忽略不計。

另一方面，正射方位投影在等高圈上的長度變形比μ2＝1，也是比球心方位投影更為符合局部范圍內普通測量工作的規律的。因為普通的測量工作中，地形圖是正射投影圖，正射方位投影保證了圖廓區域等高圈方向上的無變形；對于距離測量工作，普通的測量工作中一般是不考慮實測邊長到橢球面的歸算及橢球面到投影面的歸算兩項距離改正數的，即直接將實測水平長度作為量距成果。

綜上所述，以正射方位投影理論來討論水平面代替水準面對距離的影響，比以球心方位投影理論來討論更具合理性。

4 建議與思考

根據以上分析，筆者認為對現行教材中“用水平面代替水準面的限度”一節內容進行改革和更新是十分必要的。本文提出以下幾點建議供參考。

(1)文獻[2]及文獻[3]分別認為該節內容與實際脫節，違背高斯投影理論，應當予以刪除。本文認為直接刪除是不妥當的。因為測量學課程屬地形測量學范疇，大多內容并未涉及高斯投影理論，以水平面代替水準面是該課程的基本理論前提。與高斯投影相比，以正射方位投影的投影中心等同于高斯投影的中央子午線，將式(7)與高斯投影的長度變形概略值(m－1)＝比較，可以看出，在遠離測區中心的過程中，高斯投影比正射方位投影長度變形增加更快。所以，在討論“用水平面代替水準面的限度”這一論題時，以高斯投影理論作為理論依據是不夠妥當的。

(2)該節課程應進一步明確闡述其論述的理論依據，尤其是大地水準面近似為橢球面，橢球面近似為圓球面的“兩次近似”過程應該闡述的更為清楚一些。

(3)現行教材中該節內容從結構上來看顯得較為孤立，缺乏前后銜接。前已敘及，研究“用水平面代替水準面的限度”的一個重要目的是為建立獨立平面直角坐標系的區域限度尋求理論依據。另外，水準面曲率對高差的影響即使在很短的距離內也必須加以考慮的結論，實際上是后續章節中水準測量中前后視距大致相等、累積差不超過一定限值，三角高程測量采用對向觀測或加曲率改正的理論依據。因此，該節課程對這些內容應加以說明，使前后連貫，相互銜接，結構上更為合理。

(4)根據本文研究，以正射方位投影理論來論述用水平面代替水準面對距離的影響比以球心方位投影理論來論述更具合理性。

另外，用水平面代替水準面的限度、建立獨立平面直角坐標系的區域限度，實際上并非僅僅取決于水準面曲率對距離、角度的影響，而是與實際測區內的高差大小、測量工程的性質、精度要求、成果是否統一到國家大地坐標系(采用高斯投影)等因素密切相關。

5 結 語

測量學是測繪科學的基礎課、入門課。隨著測繪科技的進步，該課程的知識內容、結構體系不斷發展更新。而學生學習該課程前，大都沒有測繪科學方面的相關理論基礎。因此，加強測量學的教材建設，合理更新教材的知識內容和結構體系，是測繪科學教學改革的重要課題之一。就“用水平面代替水準面的限度”一節而言，由于其牽涉到眾多有待進一步深入學習的測繪知識，所以在論述上尤其應注意內容的正確性、合理性，做到既深入淺出，難易程度適當，又不失其科學嚴謹性，使之更有利于初學者的自主學習，啟發學生的思考。

[1]張坤宜，覃輝，金向農.交通土木工程測量[M].武漢:武漢大學出版社，2003:98～100

[2]張坤宜，魏德宏，王金龍.土木工程測量教材以“定位”為核心的緒論向導[J].測繪通報，2006(8):71～74

[3]翟翊，付子傲.對“水平面代替水準面的限度”的再討論[J].北京測繪，1999(3):41～43

[4]王儂，過靜珺.現代普通測量學(第二版)[M].北京:清華大學出版社，2009:19～21

[5]施一民.電磁波測距邊歸算至投影面的公式論證及應用討論[J].測繪通報，2000(12):6～7

[6]孔祥元，梅是義.控制測量學(下冊)[M].武漢:武漢測繪科技大學出版社，1998:7～12

[7]祝國瑞.地圖學[M].武漢:武漢大學出版社，2004:56～66

[8]焦健，曾琪明.地圖學[M].北京:北京大學出版社，2005: 121～133

Rediscussion on“The Extent of Using Horizontal Plane to Replace Level Surface”

Guo JiaChun1，2，Gao Fei1，Tian JinSong2
(1.School of Civil and Hydraulic Engineering，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China；2.School of Science，AnHui Agricultural University，Hefei 230036，China)

Based on the theory of orthographic projection，this paper reanalysed“the extent of using horizontal plane to replace level surface”，and drew different conclusions.Finally the author put forward the viewpoints and suggestions on the thesis.

curvature of level surface；orthographic projection；distance distortion

1672－8262(2010)03－91－03

P221

B

2009—10—20

過家春(1981—)，男，碩士生，主要從事測繪科學的教學與研究工作。

安徽農業大學測量學教學改革項目(編號:051227)