拋物樣條算法在等值線平滑中的應(yīng)用

于雪濤，奚硯濤，朱金燦，牛坤，于書媛

(1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)資源與地球科學(xué)學(xué)院，江蘇徐州 221008； 2.航天星圖科技(北京)有限公司，北京 100029)

拋物樣條算法在等值線平滑中的應(yīng)用

于雪濤1?，奚硯濤1，朱金燦2，牛坤1，于書媛1

(1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)資源與地球科學(xué)學(xué)院，江蘇徐州 221008； 2.航天星圖科技(北京)有限公司，北京 100029)

在深入研究分段拋物樣條算法的基礎(chǔ)之上，采用Visual Basic.NET2005開(kāi)發(fā)語(yǔ)言，最終設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)了基于該算法的閉合和不閉合的平滑拋物樣條曲線繪制方法。并將該算法應(yīng)用到雨量等值線的平滑中，取得了較為理想的效果。并采用均勻添加型值點(diǎn)的方式，使最終等值線的繪制更加科學(xué)化，避免相交情況的出現(xiàn)。

拋物樣條算法；等值線；閉曲線；開(kāi)曲線

1 引 言

由于等值線圖用于表示三維空間或可以認(rèn)為是三維空間的現(xiàn)象，看起來(lái)非常直觀、形象，因此在天氣預(yù)報(bào)、氣候預(yù)測(cè)分析等方面用得非常多，已成為預(yù)報(bào)員不可缺少的工具之一。如各等壓面層的位勢(shì)高度圖、高空環(huán)流、溫度及降水分布圖等等[1，2]。

在追蹤等值線的過(guò)程中，一般都是得到一系列的點(diǎn)集，然后按順序連接這些點(diǎn)，生成閉合和不閉合的等值線。此時(shí)得到的等值線，如果不經(jīng)過(guò)平滑處理，則最終生成的每條等值線是由多段折線組成，雖然表達(dá)精確，然而并不美觀。尤其在雨量等值線的繪制過(guò)程中，習(xí)慣上在繪制雨量等值線圖時(shí)希望略微犧牲一些準(zhǔn)確性而保持曲線的光滑性[3]。

在等值線的平滑算法中，平滑的方法有T－N方法、Bezier方法、B樣條方法、三次樣條方法、拋物樣條方法以及最小二乘法等[4]。其中使用比較多的是B樣條曲線、Bezier曲線和三次樣條曲線方法，而對(duì)于拋物樣條曲線方法，研究和使用的還比較少。

2 拋物樣條算法的原理

拋物樣條算法的基本原理是選擇較為簡(jiǎn)單的拋物線作為基本曲線，來(lái)擬合給定離散點(diǎn)所生成的曲線。設(shè)有不在同一直線上的3點(diǎn):p1、p2和p3，則通過(guò)3點(diǎn)用矢量表達(dá)式表示的拋物曲線表達(dá)式為:p(t)＝A1＋A2t＋A3t2(0≤t≤1)，然后再設(shè)定3個(gè)獨(dú)立條件:

(1)拋物線段以p1點(diǎn)為始點(diǎn)，即當(dāng)參變量t＝0時(shí)，曲線過(guò)p1點(diǎn)；

(2)拋物線段以p3點(diǎn)為終點(diǎn)，即當(dāng)參變量t＝1時(shí)，曲線過(guò)p3點(diǎn)；

(3)當(dāng)參變量t＝0.5時(shí)，拋物線過(guò)p2點(diǎn)，并且該點(diǎn)的切矢量等于p3－p1。

在這3個(gè)條件下，構(gòu)造的拋物線段如圖1所示。根據(jù)3個(gè)條件建立方程并聯(lián)立求解，計(jì)算得到3個(gè)系數(shù)A1、A2和A3并帶入拋物線的表達(dá)式最后得:

圖1 過(guò)三點(diǎn)定義拋物線

圖2 重疊區(qū)間

設(shè)有一離散型值點(diǎn)列Pi(i＝1，2，…，n)，每經(jīng)過(guò)相鄰3點(diǎn)做一段拋物線，由于有n個(gè)型值點(diǎn)，故可以做n－2條拋物線段。第i條拋物線段的表達(dá)式為:

同理，得第i＋1條拋物線段Si＋1(ti＋1)。一般來(lái)說(shuō)，每?jī)啥吻€之間的重疊區(qū)間，兩條拋物線是不可能完全重合的，如圖2所示。為此，采用加權(quán)合成法讓兩條曲線按照一定的規(guī)則結(jié)合成一條曲線。設(shè)定共同區(qū)間的函數(shù)為:pi＋1(t)＝(1－T)?Si(ti)＋T?Si＋1(ti＋1)，其中1－T和T為具有互補(bǔ)性的一次權(quán)函數(shù)，式中的3個(gè)參數(shù)T、ti和ti＋1可以統(tǒng)一參變量為:T＝2t，ti＝0.5＋t，ti＋1＝t(0≤t≤0.5)，代入Si(ti)和Si＋1(ti＋1)的表達(dá)式，最終整理得到的函數(shù)表達(dá)式為:

從幾何意義上說(shuō)，pi＋1(t)表示的是圖2中的點(diǎn)Pi＋1到點(diǎn)Pi＋2之間的線段，這種方法只能從n個(gè)點(diǎn)中得到n－3段曲線，但是n個(gè)型值點(diǎn)應(yīng)有n－1段曲線，為了解決這個(gè)問(wèn)題，采用添加輔助點(diǎn)方法。對(duì)于不閉合的曲線，可以添加兩個(gè)輔助點(diǎn)，即P0和Pn＋1，令P0＝P1和Pn＋1＝Pn。對(duì)于閉合曲線，可以添加三個(gè)輔助點(diǎn)，即P0、Pn＋1和Pn＋2，令P0＝Pn、Pn＋1＝P1和Pn＋2＝P2。

通過(guò)這種方法，就為平滑閉合的和不閉合的等值線奠定了理論的基礎(chǔ)。通過(guò)驗(yàn)證可知，這種方法可以保證達(dá)到C1連續(xù)。對(duì)于一般的應(yīng)用場(chǎng)合，達(dá)到C1連續(xù)就滿足了實(shí)際要求[5～7]。

3 拋物樣條算法的實(shí)現(xiàn)

作者在充分理解并分析上述算法的原理基礎(chǔ)之上，采用Visual Basic.NET 2005編程語(yǔ)言，最終很好地實(shí)現(xiàn)了該算法，完成了閉合和不閉合的拋物樣條曲線的繪制。以不閉合的拋物樣條曲線為例，其算法的偽代碼如下:

(1)定義存儲(chǔ)拋物樣條曲線上的點(diǎn)集 interList-Points和步長(zhǎng)變量t＝0.5/10，

(2)for(i＝0 to 10)

①計(jì)算拋物樣條曲線的a、b、c和d四個(gè)參數(shù)，四個(gè)參數(shù)的計(jì)算表達(dá)式如下:

②添加輔助點(diǎn)P0＝Pn，以P0、P1、P2和P3四個(gè)點(diǎn)構(gòu)造拋物樣條曲線函數(shù)，計(jì)算平滑點(diǎn)TmpPnt的坐標(biāo)。

③按先后順序添加TmpPnt點(diǎn)到interListPoints點(diǎn)集中。

①計(jì)算拋物樣條曲線的a、b、c和d四個(gè)參數(shù)，計(jì)算方法同上。

②以Pi、Pi＋1、Pi＋2和Pi＋3四個(gè)點(diǎn)構(gòu)造拋物樣條曲線函數(shù)，計(jì)算平滑點(diǎn)TmpPnt的坐標(biāo)X和Y，方法同上。

③按先后順序添加TmpPnt點(diǎn)到interListPoints點(diǎn)集中。

(4)for(i＝0 to 10)

①計(jì)算拋物樣條曲線的a、b、c和d四個(gè)參數(shù)，計(jì)算方法同上。

②添加輔助點(diǎn)Pn＋1＝P1，以Pn－2、Pn－1、Pn和Pn＋1四個(gè)點(diǎn)構(gòu)造拋物樣條曲線函數(shù)，計(jì)算平滑點(diǎn)TmpPnt的坐標(biāo)X和Y，方法同上。

③按先后順序添加TmpPnt點(diǎn)到interListPoints點(diǎn)集中。

(5)返回interListPoints，得到拋物樣條曲線上的所有點(diǎn)。

閉合的拋物樣條曲線算法與其類似，所不同的是它須添加三個(gè)輔助點(diǎn)，即P0、Pn＋1和Pn＋2，其中P0＝P1、Pn＋1＝Pn和Pn＋2＝P2，即需在兩端和兩端連接處各構(gòu)造一段拋物線。采用上述方法，生成的拋物樣條曲線如圖3和圖4所示，圖3為閉合的拋物樣條曲線，圖4為不閉合的拋物樣條曲線[5]。

圖3 閉合的拋物樣條曲線

圖4 不閉合的拋物樣條曲線

4 應(yīng)用實(shí)例

從以上可以看出，該算法計(jì)算簡(jiǎn)單，容易編程實(shí)現(xiàn)。因?yàn)樵撍惴ㄖ皇潜ＷC了C1連續(xù)，而三次樣條插值算法可以保證達(dá)到C2連續(xù)，故其光滑性和柔性沒(méi)有三次樣條插值算法好，但其時(shí)間效率還是相當(dāng)高的，相比三次樣條插值算法而言[6]。將該算法應(yīng)用到等值線的平滑中，其平滑效果已經(jīng)能夠達(dá)到雨量等值線的繪制要求。在作者直接把該算法應(yīng)用到等值線的平滑中時(shí)，發(fā)現(xiàn):對(duì)于相對(duì)稀疏的等值線，其平滑效果比較美觀，但當(dāng)?shù)戎稻€相對(duì)稠密時(shí)，其平滑效果雖達(dá)到要求，但是有時(shí)會(huì)出現(xiàn)等值線相交的情況。對(duì)于此種情況，筆者的解決方法是對(duì)未經(jīng)平滑的型值點(diǎn)序列進(jìn)行加密處理，處理的方法是:在兩點(diǎn)之間的1/5、2/5、3/5和4/5處，添加4個(gè)型值點(diǎn)，并按順序插入到等值點(diǎn)序列中。經(jīng)過(guò)上述方法處理，一般情況下是不會(huì)出現(xiàn)等值線相交的現(xiàn)象。如圖5和圖6所示，圖5為未經(jīng)過(guò)加點(diǎn)處理直接采用拋物樣條曲線算法生成的某市的雨量等值線圖，圖6為經(jīng)過(guò)加點(diǎn)處理后采用拋物樣條曲線算法生成的某市的雨量等值線圖。

圖5 未經(jīng)加點(diǎn)處理生成的雨量等值線圖

圖6 經(jīng)加點(diǎn)處理生成的雨量等值線圖

5 結(jié) 論

作者在深入研究拋物樣條插值算法的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)了拋物樣條算法，并將該算法用到雨量等值線的繪制中，解決了等值線的平滑問(wèn)題，并且效果較為理想。該算法在應(yīng)用到等值線的平滑的過(guò)程中，也發(fā)現(xiàn)存在一些小的問(wèn)題，即在拐點(diǎn)附近出現(xiàn)凸包現(xiàn)象，故該算法對(duì)于如何恰當(dāng)?shù)剡x擇輔助點(diǎn)、端點(diǎn)條件怎么確定以及在什么樣的情況下適用等問(wèn)題還有待做進(jìn)一步的研究。

[1]呂勇平，戴景茹.離散點(diǎn)插值方法，等值線的繪制及平滑技巧[J].廣東氣象，1998，(S2):69～71，73

[2]賈國(guó)憲，劉新江，陳勤勤.MapX下繪制等值線圖的一種簡(jiǎn)易方法[J].北京測(cè)繪，2004，(2):35～39

[3]陳松喬，狄立勛.雨量等值線圖繪制的算法優(yōu)化及實(shí)現(xiàn)[J].湖南水利，1999(1):30～33

[4]孫桂茹，馬亮，路登平等.等值線生成與圖形填充算法[J].天津大學(xué)學(xué)報(bào)，2000，33(6):816～818

[5]朱金燦.拋物樣條曲線的原理說(shuō)明及畫拋物曲線的一個(gè)類.http://blog.csdn.net/clever101/archive/2006/06/03/ 771160.aspx，2006－6－3

[6]張永利.分段二次拋物樣條插值法.中國(guó)科技論文在線(http://www.paper.edu.cn).2009.07.16

[7]陸潤(rùn)民.計(jì)算機(jī)繪圖原理及應(yīng)用[M].北京:清華大學(xué)出版社，1996，142～150

Application of Parabola－Spline Algorithm in Smoothing Contour

Yu XueTao1，Xi YanTao1，Zhu JinCan2，Niu Kun1，Yu ShuYuan1
(1.School of Resources and Earth Science，China University of Mining＆Technology，Xuzhou 221008，China；2.ImageInfo Company Limited，Beijing 100029，China)

Based on studying the parabola－spline Algorithm fully，this paper completed designing and releasing the algorithm of drawing close and unclose parabola－spline curves，by using Visual Basic.NET2005.This Algorithm has been applied to smooth rain－contour lines，and obtained the ideal effect.Besides，it made the contour－drawing more Scientific to add data points，avoiding the phenomenon that contour lines intersect with others.

parabola－spline algorithm；contours；close curve；unclose curve

1672－8262(2010)05－135－03

P209

B

2010—04—16

于雪濤(1984—)，男，碩士研究生，從事地理信息系統(tǒng)理論及相關(guān)應(yīng)用研究。

中國(guó)礦業(yè)大學(xué)青年科研基金項(xiàng)目(A2006018)和中國(guó)礦業(yè)大學(xué)資源與地球科學(xué)學(xué)院科研基金項(xiàng)目資助。