有限元—無限元耦合分析軟弱層樁基沉降與變形

謝德霞 馬艷娟

0 引言

在實際工程中,經(jīng)常會有地基為深厚軟弱土層的情況,此時遠場土體的位移—荷載反應(yīng)對結(jié)構(gòu)體的影響往往不能忽視。在理論計算中,常把這類問題簡化為半無限體,如果全部用有限元模擬,需要取龐大的計算范圍,如此將花費大量計算時間,繁瑣的計算過程還不一定能夠保證相對合理的計算結(jié)果。若遠場土體采用無限元,則會節(jié)約大量計算量,并且使計算結(jié)果更加具有合理性。

1 無限域的模擬

無限元是根據(jù)半無限體受集中荷載作用的彈性力學(xué)解答思想演變而來的,它其實是有限元法思想在無限域問題上的延伸[1]。根據(jù)半無限體上受集中荷載的彈性力學(xué)解答可知:當(dāng)r→∞時,u→0;當(dāng)r→0時,u→∞,其中,r為半無限體內(nèi)某一點到集中荷載的極半徑;u為位移值。因此可以構(gòu)造包含1/r或1/r2項的映射函數(shù)。設(shè)位移函數(shù)為 u(ζ),-1≤ζ≤1,其中,ζ為無限元的每一邊上的點的極半徑的映射值,當(dāng)有ζ→1時,r→∞成立。如圖1所示的一維無限元,對于每一條延伸向無限域的邊,可以構(gòu)造形如下式的映射函數(shù):

其中,Ni(ζ)為無限元的形函數(shù)。

由式(1)很容易驗證當(dāng)ζ取-1,0,1時,r分別等于r1,r2,∞。相應(yīng)的位移函數(shù)可以寫為:

其中,Mi(ζ)為位移函數(shù),稱為位移衰減函數(shù)。

同理,可以構(gòu)造出二維和三維情況下的無限元形函數(shù)形式。構(gòu)造無限元時,至少要滿足以下3個條件:

1)局部坐標(biāo)系中的有限域到整體坐標(biāo)系中的無限域映射,當(dāng)某個方向局部坐標(biāo)趨于1時,相應(yīng)的整體坐標(biāo)趨于無窮大,從而實現(xiàn)計算范圍伸向無窮遠點,其映射函數(shù)還應(yīng)滿足下面的條件:

2)無限域上位移衰減過程的描述,當(dāng)某個方向局部坐標(biāo)趨于1時,該方向位移趨于0,從而實現(xiàn)無限遠處位移為0的邊界條件。

3)為了和有限元耦合使用,應(yīng)始終保持從有限元過渡到無限元時界面上的連續(xù)性。對于有 n個節(jié)點的單元,其坐標(biāo)變換式為:

如圖2a)所示的二維4節(jié)點單元,可以構(gòu)造映射函數(shù)如下:

取位移衰減函數(shù)為(1-ζ)2,對于4節(jié)點無限元,可構(gòu)造形函數(shù)如下:

單元位移插值函數(shù)為:

因為位移和應(yīng)變的微分關(guān)系式是用整體坐標(biāo)表示的,而式(6)只給出了局部坐標(biāo)下位移插值函數(shù),在進行整體分析時必須轉(zhuǎn)換為整體坐標(biāo)下的形式。根據(jù)式(6)可得:

其中,[J]為Jacobi矩陣,由式(4)～式(8)得:

以上構(gòu)造出了平面4節(jié)點無限元的插值函數(shù)形式,對于5節(jié)點無限元,可以根據(jù)同樣的方法構(gòu)造出相應(yīng)的坐標(biāo)映射函數(shù)和位移轉(zhuǎn)換函數(shù)。在進行結(jié)構(gòu)離散化時,無限元區(qū)域通常距荷載作用處較遠,其與有限元連接的邊上用線性插值函數(shù)的誤差不大,所以為簡單起見,對于5節(jié)點無限元可以假定N5=0。聯(lián)合式(4),式(7),即可采用有限元的程序模式且假定無限元區(qū)域內(nèi)的材料是線彈性,求解半無限體問題。

2 有限元模型的建立

某水泥有限責(zé)任公司低溫余熱發(fā)電工程窯頭余熱鍋爐結(jié)構(gòu),布置在平面上呈長條形,長為26.4 m,寬為4.5 m,高約30m;底部結(jié)構(gòu)為鋼筋混凝土框架,上部結(jié)構(gòu)為鋼框架;基礎(chǔ)為挖孔灌注樁基礎(chǔ),管徑(D=1000mm),樁長約14 m,樁端位于力學(xué)性質(zhì)相對較好的⑦層圓礫層中。整棟房屋共有12根挖孔灌注樁。

建立上部結(jié)構(gòu)、樁基礎(chǔ)和地基共同作用分析的平面應(yīng)變模型:土體、樁和承臺采用平面8節(jié)點實體元,樁和承臺與土體的接觸面采用界面元模擬,各土層的摩擦系數(shù)采用相應(yīng)土層的內(nèi)摩擦角的正切值;上部框架結(jié)構(gòu)采用梁單元,不考慮施工對樁側(cè)與樁端的影響。由于該處軟弱土層較厚,深部土層的沉降可能占結(jié)構(gòu)的最終沉降的相當(dāng)部分,故對遠場區(qū)域的采用無限元與有限元的耦合分析方法。對土體采用修正劍橋模型;混凝土則假定完全在彈性范圍內(nèi)工作;模型的變形采用有限變形模式。

3 樁基沉降變形分析

比較樁端以下各水平面上的沉降曲線可以看出(見圖3,圖4),沿樁端向下,沉降值減小,樁端處有相當(dāng)?shù)拇倘肓俊＿@就說明遠場區(qū)域的沉降在本工程中占有很大的比重,反應(yīng)了在深厚軟弱地基上考慮遠場影響的必要性;說明本次分析中采用無限元和有限元耦合分析的合理性。

左側(cè)第一排樁軸線的水平位移見圖5,從圖5可以看出:樁身受到土體左方向的擠壓而側(cè)向變形,在樁頂由于受到承臺的約束偏移量少一些,在-1.2～-9.5深度范圍內(nèi),由于土體的變形模量較小,因此對樁的擠壓大,樁的側(cè)向變形較大,隨著深度的增加偏移量減小,因此樁身的變形呈“弓”形[3]。

4 結(jié)語

本文以某水泥有限責(zé)任公司低溫余熱發(fā)電工程窯頭余熱鍋爐結(jié)構(gòu)為模型,用無限元模擬遠場區(qū)域的反應(yīng),而用有限元模擬結(jié)構(gòu)附近材料的受力特征,采用無限元與有限元邊界耦合模型模擬深厚軟弱地基基礎(chǔ)的沉降和變形形態(tài)。

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