求函數(shù)值域的常用方法

摘要:函數(shù)的值域及其求法是近幾年高考考察的重點內(nèi)容之一。求函數(shù)值域是重點，也是一個難點，很多同學(xué)對求值域的問題找不到下手點，本文歸納了函數(shù)值域的幾種常見類型和常用的方法。

關(guān)鍵詞:函數(shù);值域;方法

函數(shù)的值域及其求法是近幾年高考考察的重點內(nèi)容之一。求函數(shù)值域是重點，也是一個難點，很多同學(xué)對求值域的問題找不到下手點，本文歸納了函數(shù)值域的幾種常見類型和常用的方法。

一、直接觀察法

例如y=■，y=3-■等可以通過直接觀察，它們的值域分別為{y|y≠0}，{y|y≤0}

二、圖像法

例1 已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3

①求函數(shù)f(x)的值域 ②x∈[-1，0]求值域

③x∈[3，4]求值域 ④x∈[0，3]求值域

評注:因同學(xué)們對二次函數(shù)的圖像比較熟悉，所以該類函數(shù)應(yīng)用圖像法求值域，先分析對稱軸在區(qū)間內(nèi)還是在區(qū)間外則可根據(jù)單調(diào)性直接代入端點求值域，若對稱軸在區(qū)間內(nèi)，則在對稱軸處取得最小值，再看哪個端點離對稱軸遠(yuǎn)，在離對稱軸遠(yuǎn)的端點處取最大值。

三、單調(diào)性法

例2 求函數(shù)f(x)=2x+■的值域

可知函數(shù)為增函數(shù)，可先求定義域{x|x≥1}因此值域為{y|y≥2}.

四、換元法

例3 求函數(shù)f(x)=2x-■的值域

分析:此函數(shù)單調(diào)性不明確，因此本題可用換元法將該題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域。

解:令■=t t≥0則x=t2+1

則y=2(t2+1)-t (t≥0)

=2t2-t+2 (t≥0)可知當(dāng)t=■時y有最小值■，即值域為[■，+∞).

評注:換元法為求值域問題的常用方法，有時可將復(fù)雜的問題簡單化或?qū)⑽覀儾皇煜さ念愋娃D(zhuǎn)化為熟悉的類型，但在換元時應(yīng)注意變元的取值范圍，即x與t 之間應(yīng)是等價代換。

五、分離常數(shù)法

例4 f(x)=■求f(x)的值域

解:f(x)=1+■Q求x≠1

Q■≠0

∴f(x)≠1

∴值域為{y|y≠1}

六、反函數(shù)法

若上題中x∈[0，+∞]求f(x)的值域則為第6種方法:反函數(shù)法。

解:y=■

xy-y=x+1x(y-1)=y+1x=■

Qx≥0 ∴■≥0 ∴y>1或y≤1

∴值域為(-∞，-1]∪(1，+∞)

評注:對于y=■這種類型的函數(shù)，其求值域的方法有兩種，第一種叫分離常數(shù)法，即將函數(shù)分解成一個常數(shù)和一個只在分母含x的式子之和，一般用于f(x)的自然定義域內(nèi)求值域，第二種，“反解x法”即去分母，反解出x，根據(jù)x的范圍，確定y的取值范圍。常用于定義域不是自然定義域的函數(shù)值域的求解問題。

七、判別式法

例5 求y=■的值域

解:去分母 yx2-yx-y=x2-x+1

整理得(y-1)x2-(y-1)x-(y+1)=0

①當(dāng)y-1=0時，y=1此式變?yōu)?2=0，不成立∴y≠1

②當(dāng)y≠1時Δ=(1-y)2-4(1-y)(y+1)≥0

解得:y≤-■或y>1(Qy≠1) ∴原函數(shù)值為(-∞，-■]∪(1，+∞).

評注:對y=■型的且不可約的函數(shù)解析式，常去分母化為關(guān)于x的一元二次方程，使該方程有解故Δ≥0，據(jù)此求出函數(shù)的值域為“判別式”法，使用判別式求值域，首先應(yīng)驗證二次項系數(shù)為0的情況。但此類問題有一種特殊情況，在做題時應(yīng)注意。