用幾何知識突破粒子圓周運動的學習困難

帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的問題是歷年高考考查的重點、難點和熱點，學生在解答這類問題時，往往對洛倫茲力提供向心力的物理規律印象深刻，然而常常不會準確畫出粒子運動軌跡圖，或者不善于根據所作軌跡圖找出準確的幾何關系，導致失分.幾何知識運用不熟練，成了最大的障礙.

一、學生容易掌握的作圖方法

要畫出粒子的運動軌跡，軌跡圓圓心的確定是關鍵.一般而言，絕大部分學生經過訓練可以比較好地掌握兩種基本的圓心確定方法:一是如果已知粒子通過某點的速度，可以畫出該點速度的垂線，垂線必通過圓心;二是如果粒子通過兩個已知點，連接這兩點，并作出這一連線的中垂線，中垂線必過圓心.不少習題可以綜合運用這兩種基本方法畫出軌跡圖.

二、軌跡與邊界相切——第一類困難的突破

當要求帶電粒子恰好不穿出(或恰好穿出)磁場邊界時，其臨界狀態為運動軌跡與磁場邊界相切，這時，需要改變幾個圓心的位置，嘗試用不同的半徑畫圓，直到圓弧恰好與邊界相切.

例題1如圖1所示，勻強磁場的磁感應強度為B，寬度為d，邊界為CD和EF.一電子從邊界CD外側以速率v0垂直射入勻強磁場，入射方向與CD邊界的夾角為θ，已知電子的質量為m，帶電量為e，為使電子能從磁場的另一側EF射出，則電子的速率v0至少為多大?

作圖過程:如圖2所示，在出發點畫出速度的垂線，在垂線上截取一個半徑，確定一個圓心，并畫出圓弧;調整圓心位置，改變半徑，直到圓弧與右邊界相切，所對應的軌跡即為粒子恰好能穿出右邊界的軌跡.

幾何關系:利用圓心、切點、半徑之間的關系可知:d=R+Rcos?茲.

小結:用不同的半徑嘗試，是作出與邊界相切的軌跡圓的必由之路.尋求幾何關系，要緊緊抓住過切點的半徑，尤其是出現圓與圓相切問題時，“兩圓圓心連線必過公切點”是一個重要結論.

三、軌跡圓與磁場圓相交——第二類困難的突破

高考中經常有這樣一種情況:帶電粒子沿著磁場圓的半徑方向垂直射入磁場，在磁場中作一段或重復多段圓周運動，無論情境簡單或復雜，解決這類問題需要熟悉一個基本的幾何模型——特殊的兩圓相交.

幾何模型:如圖3所示，圓O1與圓O2相交于AB兩點，若圓O2在A點切線過點O1，由幾何知識可以證明如下兩個結論:(1)圓O2在B點的切線經過點O1;(2)AB之間的兩段劣弧所對兩個圓心角互補.

物理模型:這一幾何模型可以在磁場中變為一個很有用的結論:如圖4所示，帶電粒子沿磁場圓的半徑方向垂直射入磁場，粒子必沿半徑射出磁場，且這段運動軌跡圓圓心角與磁場圓圓心角互補.

例2一半徑為R的絕緣圓筒中有沿軸線方向的勻強磁場，磁感應強度為B，一質量為m，帶電量為-q的粒子(不計重力)以速度v從筒的A孔沿半徑方向進入筒內(如圖5)設粒子和筒壁的碰撞無電量和能量的損失，那么要使粒子與筒壁連續碰撞，經一段時間后恰好又從A孔射出，問:⑴磁感強度B的大小必須滿足什么條件?⑵粒子在筒中運動的時間為多少?

作圖過程:粒子沿半徑方向進入圓筒后，在洛倫茲力的作用下作圓周運動，根據以上幾何結論可知粒子與壁碰撞前的瞬間速度方向應沿半徑方向與筒壁垂直(如圖6)，由此可畫出粒子在第一次旋轉軌跡.再根據碰撞特點，可知碰后的瞬時速度方向又指向圓心，故粒子在射出A孔之前一直重復第一次的旋轉.

幾何關系:設軌跡半徑為r，則tan=，而每一段旋轉圓心角?漬=?仔-?茲，設粒子再次射出A點時在的圓筒內轉動了n圈，筒壁碰撞了k次，則:(k+1)?茲=2n?仔.

靈活掌握畫軌跡的方法，熟悉常用的幾何規律和幾何模型，是突破帶電粒子圓周運動學習困難的有效途徑.

責任編輯羅峰