化歸中的數(shù)形結(jié)合思想

“化歸”是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)，它是人們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常常將待解決的問(wèn)題A，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一個(gè)問(wèn)題B，而問(wèn)題B是相對(duì)較易解決或已有固定解決模式的問(wèn)題。且通過(guò)對(duì)問(wèn)題B的解決可得到原問(wèn)題A的解決。而數(shù)形結(jié)合就是通過(guò)實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與圖形性質(zhì)的相互轉(zhuǎn)化，使抽象思維和形象思維相互作用，將抽象的數(shù)量關(guān)系和直觀的圖形結(jié)合起來(lái)思考研究數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)形結(jié)合是一種極具數(shù)學(xué)特點(diǎn)的信息轉(zhuǎn)換，一方面用數(shù)量的抽象性質(zhì)來(lái)說(shuō)明形象的事實(shí);另一方面又用圖象的性質(zhì)說(shuō)明數(shù)量的抽象性質(zhì)。因此，數(shù)形結(jié)合是一類極為重要的轉(zhuǎn)化，其著眼點(diǎn)放在代數(shù)與幾何的溝通上。

一、從數(shù)到形，以形論數(shù)

初等代數(shù)研究的是數(shù)字和文字的代數(shù)運(yùn)算(加法、減法、乘法、除法、乘方、開(kāi)方)的理論和方法，因此，具有高度的計(jì)算性。所以，無(wú)論是概念，還是法則、定律，都是很抽象的，有時(shí)運(yùn)算會(huì)是很煩瑣。在思考和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，對(duì)于某些從表面上看來(lái)與圖形不相關(guān)的概念和問(wèn)題，有時(shí)可從某種特定的角度，畫(huà)一個(gè)圖形、圖象或者示意圖，對(duì)所討論的問(wèn)題給予幾何直觀地描述，往往會(huì)對(duì)問(wèn)題的求解提供許多有益的啟示。借助圖形常常可以把問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系揭示得直觀形象，“圖”可以幫助思考，把抽象的東西變得直觀，從而使對(duì)概念的理解，使解題思路變得簡(jiǎn)單明了，巧妙快捷。

二、從形到數(shù)，以數(shù)論形

中學(xué)數(shù)學(xué)的幾何內(nèi)容是圖文并茂的內(nèi)容，它把邏輯思維和形象思維有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，幾何直觀對(duì)于人們學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)起到了十分重要的作用。但是，在研究問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常需要通過(guò)分析圖形中的有關(guān)數(shù)量關(guān)系，探討圖形的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。通過(guò)建立坐標(biāo)系，化幾何問(wèn)題為代數(shù)問(wèn)題，這種方法有規(guī)范的步驟，較容易掌握，某些幾何問(wèn)題，利用解析幾何方法解決較為簡(jiǎn)捷。這種方法就是“從形到數(shù)，以數(shù)論形”的方法。

三、數(shù)形結(jié)合，互相轉(zhuǎn)化，互相補(bǔ)充

從數(shù)到形、以形論數(shù)和從形到數(shù)、以數(shù)論形是數(shù)形結(jié)合的兩個(gè)重要方面。在思考和解決問(wèn)題的過(guò)程中，上述兩個(gè)方面往往不能截然分開(kāi)。尤其是一些較為復(fù)雜的問(wèn)題，需要兩個(gè)方面的互相轉(zhuǎn)化，相互利用。問(wèn)題的某些數(shù)量特征往往能給人們有關(guān)構(gòu)建圖形的提示;反過(guò)來(lái)，利用圖形的結(jié)構(gòu)特征又能夠幫助人們找到解決問(wèn)題的思路。

在思考和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，不僅要學(xué)會(huì)用“形”的結(jié)構(gòu)和特征去理解“數(shù)”的特征，也要學(xué)會(huì)用“數(shù)”的特征去理解“形”的結(jié)構(gòu)和特征。而不是只強(qiáng)調(diào)一個(gè)方面，而忽視另一個(gè)方面。

參考文獻(xiàn):

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3.錢(qián)佩玲.《數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué)》.北京師范大學(xué)出版社，2008

作者單位:高安市石腦二中