例談簡易邏輯

在邏輯學中，判斷是對客觀事物所有肯定或否定的思維形式，所以判斷有真有假。判斷的真假要看判斷是否符合思維對象的實際情況，并要通過檢驗。數學判斷是關于數學對象及其屬性的判斷。命題是數學邏輯的名詞，在數學中用來表示數學判斷的語句或符號的組合稱數學命題。

1.命題的定義:可以判斷真假的語句叫命題。

2.命題的分類:命題分為簡單命題和復合命題，把簡單命題用一些邏輯聯結詞(或，且，非)聯結起來，就構成了復合命題。

3.關于聯結詞“或”“且”的理解:復合命題“p或q”“p且q”是用聯結詞“或”“且”聯結兩個命題p與q，既不能用“或”與“且”去聯結兩個命題的條件，也不能聯結兩命題的結論。

例1.(1)已知p:方程(x-1)(x-2)=0的根為x=1;q:方程(x-1)(x-2)=0的根為x=2，寫出“p或q”

(2)p:四條邊相等的四邊形是正方形;q:四個角相等的四邊形是正方形，寫出“p且q”

錯解:(1)p或q:方程(x-1)(x-2)=0的根為x=1或x=2;

(2)p且q:四條邊相等且四個角相等的四邊形是正方形。

分析:(1)、(2)中的p、q都是假命題，所以“p或q”“p且q”也都是假命題，而在解答中給出的兩個答案(也是命題)卻是真命題。錯誤原因:(1)聯結了兩個命題的結論;(2)聯結了兩個命題的條件。

正解:(1)p或q:方程(x-1)(x-2)=0的根為x=1或方程(x-1)(x-2)=0的根為x=2;

(2)p且q:四條邊相等的四邊形是正方形且四個角相等的四邊形是正方形。(這兩個命題都是假的)。

例2.p:菱形的對角線互相平分;q:菱形的對角線互相垂直，寫出“p且q”解:p且q:菱形的對角線互相平分且(菱形的對角線互相)垂直。

注:在不影響命題真的情況下，可以省略兩個命題的同一主語，如上述命題括號里的可省略。

4.關于“非”的理解:

(1)“非p”只否定p的結論:“非”就是否定的意思，設p表示一命題，若否定命題p則得一新命題非p，“非p”也叫命題的否定，與下面要說的“否命題”不同，“非p”只否定命題的結論不能否定條件，也不能將條件和結論都否定，要寫“非p”應先弄清p的條件和結論。

例3.p:方程x2-5x+6=0有兩個相等的實根，寫出“非p”

錯解:“非p”:方程x2-5x+6=0有兩個不相等的實根;

分析:命題p的條件是:“方程x2-5x+6=0”，結論是“有兩個相等的實根”，所以“非p”應否定“有”而不能否定“相等”。

所以“非p”:方程x2-5x+6=0沒有兩個相等的實根。

(2)p與“非p”真假必須相反

例4.寫出例1.(2)中p的“非p”

錯解:“非p”:四條邊相等的四邊形不是正方形;

分析:因為p是假命題，所以“非p”肯定是真命題，而上述“非p”也是假命題。

正解:“非p”:四條邊相等的四邊形不都是正方形。

注:“是”的否定有時為“不是”，有時為“不都是”要看“是”的含義而定。

(3)“非p”必須包含p的所有對立面:“非”相當于集合在全集中的補集，假定p與“非p”的結論所對應的集合分別是A、B，則必須滿足A∪B=(全集)A∩B=Φ，“非p”的結論必須包含p的結論的所有對立面，這樣就為后面我們學習“反證法”奠定了基礎。

例5.p:方程x2-5x+6=0有兩個相等的實根，寫出“非p”

解:因為實系數一元二次方程的解的情況有三種，任何一種的否定都應該包含另外兩種，所以p的對立面是:方程x2-5x+6=0有兩個不相等的實根或無實根，故“非p”:方程x2-5x+6=0沒有兩個相等的實根。

(4)“非p”必須使用否定詞語:一般地，寫一個命題p的“非p”必須使用否定詞語對正面敘述的詞語進行否定。

例6.p:方程x2-5x+6=0有實根，寫出“非p”

錯解:“非p”:方程x2-5x+6=0有虛根;盡管“虛”是“實”的否定，但“虛”不是否定詞，所以正解:“非p”:方程x2-5x+6=0無實根。

5.命題及其命題間的關系:

(1)命題的基本形式:若p則q我們按照p與q所在位置、肯定與否定的情況，有這樣的四種組合:原命題:若p則q;逆命題:若q則p;否命題:若非p則非q;逆否命題:若非q則非p。

注:否命題與命題的否定是不同的，一命題的否命題既否定結論，同時又否定條件，而這個命題的否定形式是若p則非q，即:只否定結論而不否定條件。如:命題若xy=0則x=0或y=0的否定形式是:若xy=0則x≠0且y≠0，其否命題是:若xy≠0則x≠0且y≠0。

(2)四種命題的形式及其關系，可用下圖表示:

6.四種命題與充要條件的關系:在四種命題的基礎上，要知道原命題與它的逆否命題是等價的，它的逆命題與它的否命題是等價的。條件的充分性與必要性與命題的四種形式有密切的聯系:

充分必要條件(對于假設p是使結論q能成立的充分必要條件)

p?圮q意味著兩方面內容:

(1)原命題:若p則q就是說p是q成立的充分條件;

(2)逆命題:若q則p就是說p是q成立的必要條件。

即:要證明條件p是結論q成立的充分條件時就證若p則q;要證明條件p是結論q成立的必要條件時就證若非p則非q，而若非p則非q為若p則q的否命題，它等價于逆命題(若q則p)因此說:如果原命題及其逆命題同時成立，那么條件p是結論q成立的充要條件。

故“非p”為:x>10或x<-2 記A={x| x>10或x<-2}

“非q”為:x>1+m或x<1-m記B={x| x>1+m或x<1-m}

因為非p是非q的必要不充分條件，即:非p←非q

所以B?哿A，所以有1-m≤-2且1+m≥10(但1-m=-2與1+m=10不能同時成立)，又m>0所以m≥9為所求的取值范圍。

命題中的問題是很復雜的，中學只學習一些結構簡單的命題，上述一些觀點只是筆者在教學學習中的一點體會，不當之處希望專家老師們指正。

參考文獻:

1.沈康身.《數學的魅力》.上海辭書出版社

2.關于命題的困惑.中學數學教學參考.2002.1-2合期

3.十三院校協編組編.《中學數學教材教法》.高等教育出版社

作者單位:①延安市第一中學

②延安市安塞高級中學