電流激勵(lì)蔡氏電路混沌的解析預(yù)測(cè)

摘 要:考慮到蔡氏電路受周圍電路的影響，故將受周圍影響的蔡氏電路做了等效處理，并將其等效為電流激勵(lì)蔡氏電路。這里首次用解析的方法對(duì)三階非線性微分方程能夠產(chǎn)生混沌的參數(shù)范圍進(jìn)行預(yù)測(cè)，利用該方法得出電流激勵(lì)蔡氏電路產(chǎn)生混沌的必要參數(shù)條件。通過數(shù)值仿真證明了該等效電路具有極其豐富的混沌動(dòng)力學(xué)行為，仿真結(jié)果與解析預(yù)測(cè)結(jié)果有較好的吻合性。

關(guān)鍵詞:電流激勵(lì); 蔡氏電路; 三階非線性微分方程; 解析預(yù)測(cè); 混沌現(xiàn)象

中圖分類號(hào):TN911文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1004-373X(2010)08-0116-03

Analytical Method to Predict Chaos on Current Driven Chua′s Circuit

LI Bang-yan， GAO Yong-yi

(College of Physics， Hu’nan University of Science and Technology， Xiangtan411201， China)

Abstract:Chua′s circuit model is proposed by taking into account impact of the surrounding circuits on Chua′s circuit. The scope of the chaotic parameters produced by the third-order nonlinear differential equations is predicted with the analytical method for the first time， and a required range of parameters for current driven Chua′s circuit to produce chaos is deduced bythis method. Simulated phase diagrams show this circuit has a very rich dynamics of chaotic behavior， the simulation results and analytically predicted results are in good coincidence.

Keywords:current driven; Chua′s circuit; third-order nonlinear diflerential equation analytical prediction; chaotic phenomenon

0 引 言

由于電子電路易于實(shí)驗(yàn)室搭建，易于測(cè)量與顯示，易于建模與仿真，因而已逐漸成為混沌現(xiàn)象及其應(yīng)用研究的重要途徑。諸多學(xué)者通過電子電路模型對(duì)混沌現(xiàn)象進(jìn)行了深入的研究[1-4]。蔡氏電路是1983年華裔科學(xué)家蔡少棠教授首次提出的，它是歷史上第一例用電子電路來證實(shí)混沌現(xiàn)象的電路，也是非線性電路中產(chǎn)生復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的最有效且較為簡單的混沌電路之一。

目前一些學(xué)者正在對(duì)蔡氏電路中各種變形產(chǎn)生的混沌現(xiàn)象進(jìn)行研究[5-9]，但主要集中在更改原電路中非線性元件使之產(chǎn)生混沌，或者添加新元件使其產(chǎn)生超混沌的研究上，而研究周圍電路對(duì)蔡氏電路所產(chǎn)生影響的情況很少。到現(xiàn)在為止，研究該電路及其變形電路混沌行為的方法大都是數(shù)值方法、實(shí)驗(yàn)方法以及Pspice仿真的方法，沒有見到用解析的方法研究該混沌電路的。本文在考慮周圍電路對(duì)蔡氏電路影響的同時(shí)，首次用解析法預(yù)測(cè)了電流激勵(lì)下蔡氏電路的混沌行為，具有一定的理論和實(shí)際意義。

1 電流激勵(lì)蔡氏電路狀態(tài)方程的建立

電流激勵(lì)蔡氏電路由電容C1，C2、電感L、電阻R，RN和電流源is組成，如圖1所示。

圖1 電流激勵(lì)蔡氏電路

圖1中RN為非線性電阻。根據(jù)基爾霍夫電流定律和電壓定律，該電路的狀態(tài)方程為:

dvC1dt=1RC1(vC1-vC2)-1C1f(vC1)+1C1is

dvC2dt=1RC2(vC1-vC2)+1C2iL

dildt=-1LvC2 (1)

式中:vC1，vC2為C1，C2的電壓;iL為L的電流;f(vC1)是非線性電阻的伏安特性函數(shù)。設(shè)激勵(lì)電流is=Fcos Ωt，令x=vC1，y=vC2，z=RiL，t=RC2τ，α=C2/C1，β=R2C2L， fC=RC2FC1，ω=RC2Ω。則式(1)可化為:

=α\\+fCcos ωt

=x-y+z

=-βy(2)

式中，非線性電阻用三次方多項(xiàng)式的形式[10]，即:f(x)=mx+nx3。

2 混沌的解析預(yù)測(cè)

設(shè)系統(tǒng)(2)的一次諧波解為:

z=acos ωt+bsin ωt(3)

當(dāng)系統(tǒng)(2)為弱非線性系統(tǒng)時(shí)，a和b為慢變參數(shù)，通過平均法可得到:

=12(-αm+ω2-β)a+12(-αω+αβω-αmω+αβmω-ω)b-

3αβn8ω\\ω3β3+ωβ(ω2β-1)2\\〗a(a2+b2)-3αβn8ω\\ω2β-1)3+ω2β2(ω2β-1)\\〗b(a2+b2)

=-12(-αω+αβω-αmω+αβmω-ω)a+12(-αm+ω2-β)b+

3αβn8ω\\ω2β-1)3+ω2β2(ω2β-1)\\〗a(a2+b2)-3αβn8ω\\ω3β3+ωβ(ω2β-1)2\\〗b(a2+b2)-βfC2ω(4)

為了簡化表達(dá)式，設(shè):

k1=(1/2)(-αm+ω2-β)(5)

k3=3αβn8ω\\ω3β3+ωβ(ω2β-1)2\\〗(7)

k2=12(-αω+αβ/ω-αmω+αβm/ω-ω)(6)

k4=3αβn8ω\\ω2β-1)3+ω2β2(ω2β-1)\\〗(8)

對(duì)式(4)進(jìn)行代換并在[0，T]內(nèi)進(jìn)行積分，利用a和b緩慢變化性質(zhì)有:

a(T)-a(0)=2πω[k1a+k2b-k3a(a2+b2)-k4b(a2+b2)]

b(T)-b(0)=2πω[k2a+k1b+k4a(a2+b2)-k3b(a2+b2)-βfC2ω] (9)

設(shè)式(4)的平衡點(diǎn)為(a0，b0)，則有:

k1a0+k2b0-k3a0(a20+b20)-k4b0(a20+b20)=0

-k2a0+k1b0+k4a0(a20+b20)-k3b0(a20+b20)-βfC2ω=0(10)

將式(9)中等號(hào)右邊的式子在點(diǎn)(a0，b0)附近做泰勒展開，并利用式(10)有:

a(T)-a(0)=2πω[A11a(0)+A12b(0)+U(a(0)，b(0))]

b(T)-b(0)=2πω[A21a(0)+A22b(0)+V(a(0)，b(0))](11)

式中:

A11=k1-k3(3a20+b20)-k42a0b0(12)

A12=k2-2k3a0b0-k4(a20+3b20)(13)

A21=-k2+k4(3a20+b20)-2k3a0b0(14)

A22=k1-k3(a20+3b20)+2k4a0b0(15)

U(a(0)，b(0))，V(a(0)，b(0))為a(0)，b(0)的高階項(xiàng)。

在點(diǎn)(a0，b0)附近，式(11)的高階項(xiàng)可忽略不計(jì)，則:

a(T)

b(T)=2πωA11+12πωA12

2πωA212πωA22+1a(0)b(0)(16)

顯然式(16)是系統(tǒng)(2)在周期解附近的龐加萊映射:

P\\=TP\\(17)

比較式(16)與式(17)可知:

T=2πωA11+12πωA12

2πωA212πωA22+1(18)

設(shè)T的特征值為λ，則:

(2πωA11+1-λ)(2πωA22+1-λ)-(2πω)2

A12A21=0(19)

由非線性動(dòng)力學(xué)理論知，當(dāng)λ1<1<λ2時(shí)，系統(tǒng)(2)才有可能出現(xiàn)混沌。由此可得到系統(tǒng)(2)出現(xiàn)混沌的必要條件為:

A11A12

A21A22<0(20)

將A11，A12，A21，A22代入式(20)化簡后得:

k21+k22-4(k1k3+k2k4)(a20+b20)+3(k23+k24)(a20+b20)2<0(21)

令r0=a20+b20，tan θ0=b0/a0，代入式(10)、式(21)化簡后有:

(k1r0-k3r30)2+(k2r0-k4r30)2=βfC2ω

k21+k22-4(k1k3+k2k4)r20+3(k23+k24)r40<0(22)

式(22)是系統(tǒng)出現(xiàn)混沌時(shí)α，β，m，n，ω，fC必須滿足的參數(shù)條件。式中:k1，k2，k3，k4，r0為α，β，m，n，ω，fC的函數(shù)。取參數(shù)α=9，β=100/7，m=-8/7，n=2/7，用Matlab畫出1≤ω≤3，系統(tǒng)產(chǎn)生混沌時(shí)，fC與ω的允許范圍如圖2所示。

圖2 混沌解析預(yù)測(cè)結(jié)果

3 仿真結(jié)果

取參數(shù)α=9，β=100/7，m=-8/7，n=2/7，當(dāng)fC與ω取不同值時(shí)，用Matlab對(duì)系統(tǒng)(2)進(jìn)行仿真時(shí)，有圖3的結(jié)果，數(shù)值仿真結(jié)果與混沌解析預(yù)測(cè)的結(jié)果有較好的吻合性。

圖3 ω，fC不同時(shí)系統(tǒng)的相圖

4 結(jié) 語

通過分析電流激勵(lì)蔡氏電路中一次諧波解的龐加萊映射，預(yù)測(cè)出蔡氏電路在余弦電流激勵(lì)下能夠產(chǎn)生混沌的必要參數(shù)條件。仿真結(jié)果與解析預(yù)測(cè)結(jié)果有較好的吻合性。

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