基于窗函數(shù)數(shù)字預濾波處理系統(tǒng)的研究

摘 要: 由于在FPGA中能夠通過FIR IP Core很方便地實現(xiàn)FIR濾波器組。在此，從FIR濾波器組的各種窗函數(shù)特性分析入手，分析了各種窗函數(shù)在頻域內(nèi)的各種性質(zhì)，提出了在合理使用FPGA內(nèi)部資源的前提下，設(shè)計適用于不同天文觀測的預處理DFB系統(tǒng)中FIR濾波器的設(shè)計。通過設(shè)計觀測具有頻率分裂特征的太陽Ⅱ型爆發(fā)的DFB，詳細論證了該種設(shè)計的可行性。關(guān)鍵詞:FPGA;FIR; 窗函數(shù); DFB

中圖分類號:TN911.72-34文獻標識碼:A

文章編號:1004-373X(2010)16-0101-05

Study on Digital Pre-filtering System Based on Window Functions

DONG Liang1， BAI Zheng-yao2， WANG Min1， XU Chun1， SHI Shuo-biao1

(1.Yunnan Observatory of CAS， Kunming 650011， China; 2.School of Information Science and Engineering，Yunnan University， Kunming 650091， China)

Abstract: Since the filter banks of FIR (finite impulse response filter) can be achieved conveniently in FPGA (field programmable gate array) by FIR IP core， proceeding from the characteristic analysis of window functions in FIR filter bank， the features of various window functions in the frequency domain are analyzed， and then the FIR design of the different pre-processing DFBs (digital filter banks) suiltable for different astronomy observations is proposed under the premise of the equitable application of FPGA internal resource. A DFB system with solar split-burst-Ⅱis designed. The observation indicates the the design is feasible.

Keywords: FPGA; FIR; window function; DFB

0 引 言

有限沖擊響應(finite impulse response，F(xiàn)IR)濾波器是數(shù)字信號處理系統(tǒng)中最基本的單元，它可以保證任意幅頻特性同時具有嚴格線性相頻特性，且其單位沖擊響應是有限的，較之于無限沖擊響應(infinite impulse response，IIR)濾波器沒有輸入到輸出的反饋，是穩(wěn)定的系統(tǒng)，易于在FPGA，DSP等數(shù)字處理芯片中實現(xiàn)，因此其知識產(chǎn)權(quán)核(IP)廣泛地在這類芯片中得到使用。

IP就是知識產(chǎn)權(quán)核或者知識產(chǎn)權(quán)模塊的意思。在EDA技術(shù)和開發(fā)領(lǐng)域具有十分重要的作用，在半導體產(chǎn)業(yè)中IP定義為用于ASIC或FPGA/CPLD中預先設(shè)計好的電路功能模塊。IP可以分為軟IP、固IP和硬IP三種。

隨著電子系統(tǒng)越來越復雜，PLD的設(shè)計也越來越龐大，這就增加了市場對IP核的需求，各大FPGA/CPLD廠商陸續(xù)推出了許多IP核。例如:FIR數(shù)字濾波器core、快速傅里葉變換(FFT)core、數(shù)控振蕩器(NCO)core等。在設(shè)計中，如果使用了這些知識產(chǎn)權(quán)核可以大大簡化FPGA/CPLD的設(shè)計，加速設(shè)計速度，縮短研發(fā)周期，并且較之于開發(fā)者自己的設(shè)計程序，這些IP有更好的運算精度，且速度、SFDR參數(shù)、SNR參數(shù)等均達到良好的效果。

1 基于FPGA的DFB系統(tǒng)

由于在射電天文學中對于不同的觀測目標(例如:脈沖星觀測、太陽射電觀測、活動星系核觀測、分子譜線觀測等)具有不同的頻譜特點，為此作為基于FPGA的數(shù)字信號處理終端，DFB系統(tǒng)也應該有不同的設(shè)計方案，基于對FPGA內(nèi)部邏輯資源的合理規(guī)劃和使用，有必要在結(jié)合分析不同F(xiàn)IR窗函數(shù)和射電天文信號頻譜規(guī)律的條件下，合理地設(shè)計基于FPGA的不同DFB系統(tǒng)，如圖1所示[1]。

2 FIR濾波器及其最小積分平方誤差設(shè)計

在連續(xù)無限頻率域中，假設(shè)一個濾波器的期望頻率響應函數(shù)為Hd(ejω) ，它是一個以ω的周期為2π的函數(shù)，使用傅里葉級數(shù)形式表示如下[2-3]:

Hd(ejω)=∑∞n=-∞hd[n]e-jωn(1)

式中:傅里葉系數(shù){hd[n]}恰好是相應的沖擊響應樣本。表示為:

hd[n]=12π∫π-πHd(ejω)ejωndω，-∞

圖1 基于FPGA的DFB系統(tǒng)

這樣就可以根據(jù)Hd(ejω)在整個頻域內(nèi)提出的指標來計算該數(shù)字濾波器的特征函數(shù)h[n]。但是，關(guān)鍵問題是對于大多數(shù)的實際應用，期望頻率響應應是分段常數(shù)，并且各頻帶之間有著陡峭的過渡帶，這樣就使得特征函數(shù)h[n]無限長且非因果。

為此，設(shè)計一種長度僅為2M+1的有限長沖擊響應序列{hd[n]}，其DTFT Ht(ejωn)在某種程度上逼近于Hd(ejω)的DTFT，其逼近誤差可以表示為:

φR=12π∫π-πHt(ejω)-Hd(ejω)2dω (3)

式中:

Ht(ejω)=∑Mn=-Mht[n]e-jωn(4)

再利用帕斯瓦爾關(guān)系式(3)可以寫作:

φR=∑∞n=-∞|ht[n]-hd[n]|2=

∑Mn=-M|ht[n]-hd[n]|2+∑-Mn=-∞h2d[n]+∑∞n=M+1h2d[n](5)

由上式可以看出，若在區(qū)間n∈[-M，M]內(nèi)ht[n]=hd[n]，則上式最小。為此可以得出結(jié)論:在均方誤差準則下，理想無限長沖擊響應序列的最佳和最簡單有限長逼近是通過截短(俗稱加窗)來得到的，也就是完成了一個濾波器從無限沖擊響應到有限沖擊響應的轉(zhuǎn)變過程。

為此，一個FIR濾波器的輸入輸出關(guān)系可以表示為如下形式:

y(n)=h，x=∑N-1n=0h[n]x[n]=h[0]x[0]+

h[1]x[1]+…+h[N-1]x[N-1](6)

式中:h[n]為FIR濾波器的時域傳遞函數(shù)或者稱為該FIR濾波器的特征函數(shù);x[n]為輸入離散數(shù)字信號序列;y(n)為經(jīng)濾波處理后輸出的離散數(shù)字信號序列。對其特征函數(shù)h[n]是一個有限長度為N的序列;對一個FIR型濾波器，設(shè)計關(guān)鍵是在于通過其頻域的要求確定合適的漸變函數(shù)(窗函數(shù))及其N值。FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)

3 各種窗函數(shù)的特性分析

在實際工程中許多學者提出了很多的“加窗”(漸變函數(shù))方法。其中，基于FPGA的FIR IP Core[3]能夠?qū)崿F(xiàn)的主要原因是固定窗函數(shù)(特性見表1)，但有以下幾種(矩形窗除外)[2]:

漢寧(Hanning)窗:

w[n]=121+cos2πn2M+1， -M≤n≤M(7)

海寧(Hamming)窗:

w[n]=0.54+0.46cos2πn2M+1，-M≤n≤M(8)

布萊克曼(blackman)窗:

w[n]=0.42+0.5cos2πn2M+1+0.08cos4πn2M+1，

-M≤n≤M(9)

式中:M=N-12;N為窗函數(shù)長度。

表1 固定窗函數(shù)的特性

窗函數(shù)類型主瓣寬度ΔML相對旁瓣級別Asl /dB最小阻帶衰減 /dB過渡帶帶寬Δw

矩形窗4π2M+113.320.90.92 πM

漢寧窗8π2M+131.543.93.11πM

海明窗8π2M+142.754.53.32πM

布萊克曼窗12π2M+151.875.35.56πM

4 基于FPGA設(shè)計DFB的一般步驟

4.1 接收機輸入端自然噪底

如果射電天線在對冷空時，并且接收機在沒有無線電干擾(radio frequency interference，RFI)的情況下，在輸出端得到噪聲輸出，此時該噪聲稱為自然噪底。自然噪底的大小直接影響到接收系統(tǒng)的靈敏度，自然噪底同時也是DFB中各個濾波器阻帶衰減的參考標準，進而也是選擇何種濾波器窗函數(shù)的重要標準之一。為此，選擇窗函數(shù)的條件是:其最大衰減應大于頻帶內(nèi)需要抑制的信號與自然噪底之間的差值。由于窗函數(shù)的旁瓣存在，應考慮到干擾信號落在旁瓣區(qū)域內(nèi)的可能性，因此相對旁瓣級別也是選擇窗函數(shù)的重要準則之一。自然噪底Nc來自2個方面:環(huán)境噪聲Sn和接收機噪聲Sr。環(huán)境噪聲Sn主要來自大氣噪聲、太陽噪聲和銀河噪聲等環(huán)境因素，這是自然噪底中不可消除因素。接收機噪聲Sr主要來自于電阻的熱噪聲和有源器件的散彈噪聲，它們的頻帶非常寬，頻譜基本上是連續(xù)均勻分布的。如果將接收機等效為一個四端口網(wǎng)絡，其輸出總噪聲功率是輸入端噪聲源電阻產(chǎn)生的可用噪聲功率及四端網(wǎng)絡內(nèi)部產(chǎn)生的噪聲功率之和，折合到接收機輸入端的噪聲總功率為[4]:

Sr=NF×k×T0×Br(10)

式中:k為玻爾茲曼常數(shù)，k=1.38×10-23 W/Hz;T0為絕對溫度;Br為接收機噪聲帶寬;NF為接收機噪聲系數(shù)。接收機噪聲可以通過降低接收機溫度來降低，例如常用的致冷接收機。

在通常情況下自然噪底應該呈高斯分布特性[4]，如圖3所示。

圖3 無噪聲干擾情況下在頻譜儀上顯示的自然噪底

對冷空觀測時應注意是否存在無線電干擾和采用頻譜儀的種類，即現(xiàn)在所對是否絕對冷空、是否存在RFI干擾。上述情況如果存在于RFI中在會因頻譜儀的設(shè)計問題給自然噪底的測量帶來問題。由于現(xiàn)今市場上有FFT式頻譜儀和掃頻式頻譜儀2種，如果采用FFT式頻譜儀對冷空測量時，會因FFT變換所加窗函數(shù)的不同而引起頻譜泄漏(leakage)引起噪底的不均勻，并且在非噪聲點處出現(xiàn)泄漏頻點。為此，建議最好在天文臺站測量無線電噪聲環(huán)境時采用掃頻式頻譜儀。

4.2 射電接收機中DFB特性

4.2.1 本道單一性

在射電天文觀測中，如果需要對多個頻點進行精細觀測時，需要選取不同的濾波器進行這些頻點信號的選取。為此，某一頻點濾波器的選擇性應該是單一的，即接收機應具有本道單一性[4]，通帶內(nèi)不能混有其他頻點的信息，其他頻點都應在該濾波器的阻帶內(nèi)，這樣就限制了濾波器的主瓣寬度。

接收機的本道單一性是指接收機選擇的關(guān)心頻點/段在一定范圍內(nèi)變化時(如分裂性的太陽射電Ⅱ型爆發(fā))不會被衰減，即某一濾波器的平坦范圍應包含關(guān)心頻點的變化范圍，并且不與另一濾波器的平坦范圍重疊。

從圖4可以看出，該濾波器的通帶在0.150π~0.205π，這就是該濾波器選擇的關(guān)心頻點及其變化范圍。由于在FPGA內(nèi)部實現(xiàn)同等功能采用不同的窗函數(shù)占用資源是不同的，因此如果根據(jù)需要選擇合適的窗函數(shù)，可以減少FPGA的內(nèi)部資源。

圖4 某一濾波器的響應曲線

4.2.2 鄰道隔離性

如果在臨近干擾f就有天文觀測特別關(guān)心的頻點F，則F-f之間的隔離就顯得非常重要，不能使干擾信號進入到觀測信號頻段的濾波器通帶內(nèi)。為此，接收機就需要具有良好的鄰道隔離性。

接收機鄰道隔離性是指接收機抑制鄰道干擾的能力。它主要由接收機中頻濾波器的阻帶衰減特性決定。

采用DFB系統(tǒng)時，可通過鄰道隔離的辦法有效地抑制干擾。具體方法是:首先通過分析觀測得出接收機輸入端的自然噪底和干擾出現(xiàn)在奈奎斯特帶寬內(nèi)的位置，然后將干擾信號視為鄰道，選取合適的濾波器窗函數(shù)及其組合，將所有的干擾頻段設(shè)置在濾波器組的阻帶內(nèi)，以抑制這些信號，所需要觀測的沒有污染的宇宙射電信號頻段均有相應的濾波器通帶與之對應，如圖5所示。

假設(shè)圖5是某一接收機在天線對冷空時測得的干擾分布情況圖，可以看到在圖5上共有4個頻點干擾，在DFB中這些位置應該是濾波器阻帶的疊加，并且從圖5中可知，該處環(huán)境的自然噪底大約為-85 dBm，而最強的干擾源功率為-64 dBm，與自然噪底相差21 dB左右，所以DFB中所有濾波器的最小阻帶衰減應該設(shè)置在25 dB以下才能抑制該干擾。

4.3 總結(jié)設(shè)計流程

一個基于FPGA內(nèi)部實現(xiàn)的DFB系統(tǒng)設(shè)計步驟可以大致分為:

(1) 首先通過ADC的參數(shù)確定觀測奈奎斯特帶寬(nyquist-bandwidth)RFI的特性:位置及其相對于自然噪底Nc的強度;

(2) 根據(jù)RFI特性選取合適的窗函數(shù);

(3) 根據(jù)窗函數(shù)和FIR IP core規(guī)劃各濾波器的通帶和阻帶等參數(shù);

(4) 生成FIR濾波器并組合成濾波器組。

圖5 某一接收機測干擾圖

流程如圖6所示。

圖6 濾波器組設(shè)計流程圖

5 太陽射電型爆發(fā)在譜域的一般特點

太陽Ⅱ型爆發(fā)是太陽射電米波爆發(fā)中十分重要的一類。長期以來，人們一直極為重視對它的研究。目前，一般認為:Ⅱ型爆發(fā)是相關(guān)于一無碰撞MHD激波的等離子體輻射。它在譜域上具有以下特點[5]:

爆發(fā)起始頻率 盡管在有些觀測中有初始頻率為500 MHz的太陽射電Ⅱ型爆發(fā)，但是絕大部分的太陽射電Ⅱ型爆發(fā)的起始頻率小于150 MHz。

低的漂移速率 太陽射電Ⅱ型爆發(fā)具有從高頻到低頻較慢的漂移速率:小于1 MHz/s;

窄帶寬 典型的爆發(fā)帶寬從幾MHz到100 MHz;

頻率分裂 在射電譜上2條諧波帶經(jīng)過一段時間后，均“分裂”成2個互有間隔的子帶，間隔頻率約為Δf/f≈10%，并且通過統(tǒng)計符合公式:

Δf=1.1+0.124f(11)

假設(shè)在觀測帶寬內(nèi)有一干擾信號頻點位于24 MHz，強度相對于噪底為14 dB，仿真如圖7所示。參數(shù)如表2所示。

圖7 一次太陽Ⅱ型爆和RFI模擬圖

表2 圖7太陽Ⅱ型爆一些參數(shù)

頻率 /MHzΔf/MHz強度/dB自然噪底/dB采樣率/MSPSRFI

436.430

801130-9520024 MHz20 dB

圖8是在Matlab下仿真得到的濾波器組通帶幅值和相位響應圖。

圖8 濾波器組的通帶幅值和相位響應圖

由于在FPGA設(shè)計中，設(shè)計一個帶通濾波器非常占用FPGA的資源，所以采用3個濾波器拼接構(gòu)成以上通帶，各濾波器的參數(shù)如表3所示。

表3 各濾波器參數(shù)一覽

濾波器類型及窗函數(shù)選通頻率范圍(最小主瓣寬度)最小阻帶衰減/dB過渡帶寬

Filter-1低通/帶通Hamming0(15)~23.5 MHz(0.075~0.117 5 )200.5 MHz0.002 5

Filter-2帶通Hamming24.5~48MHz(0.122 5~0.24)200.5 MHz0.002 5

Filter-3帶通/高通Hamming60~88 MHz(0.30～0.44/0.5)20

在FPGA內(nèi)實現(xiàn)的濾波器如圖9~圖11所示。

實驗結(jié)果經(jīng)過濾波處理后通帶，如圖12所示。由圖12可見，整個通帶內(nèi)的RFI信號被濾除，通帶內(nèi)只剩下太陽爆發(fā)信號。

圖9 Filter-1 在FPGA FIR IP core內(nèi)生成的頻譜圖

圖10 Filter-2 在FPGA FIR IP core內(nèi)生成的頻譜圖

圖11 Filter-3 在FPGA FIR IP core內(nèi)生成的頻譜圖

6 結(jié) 語

與眾多的接收設(shè)備不同，射電天文接收機所處理的信號頻帶寬，強度弱，易受無線電干擾影響。本文提出的該類接收機在數(shù)字處理方面規(guī)避和消除無線電干擾一般方法，基于窗函數(shù)實現(xiàn)濾波器易在FPGA的處理器中通過FIR IP core實現(xiàn)，且占用資源較少。通過實驗仿真驗證的該方法的正確性。相信必能為將來接收機的數(shù)字終端的設(shè)計提供依據(jù)。

圖12 經(jīng)濾波處理后的通帶

參考文獻

[1]FRIDMAN P A. RFI mitigation with the time-frequency robust statistical analysis[C/OL].[2002-05-11]. Proc. IUCAF Summer School: Spectrum Management for Radio Astronomy， National Radio.http://www.iucaf.org/sschool/procs/.

[2]MITRA Sanjit K.數(shù)字信號處理:基于計算機的方法[M].3版.孫洪，譯.北京:電子工業(yè)出版社，2006.

[3]丁玉美，高西全.數(shù)字信號處理[M].2版.西安:西安電子科技大學出版社，2001.

[4]祁玉生，邵世祥.現(xiàn)代移動通信系統(tǒng)[M].北京:人民郵電出版社，1999.

[5]曹文達，楊開平，陳國強.日冕和行星際空間中的太陽射電Ⅱ型爆發(fā)[J].云南天文臺臺刊，1994(1):32-35.

[6]Altera Corporation.FIR MegaCore function user guide[M]. USA: Altera， 2006.

[7]DONG Liang， WANG Min， XU Chun， et al. FPGA based nature noise reduction and RFI removing in radio astronomy[C]//Proceedings ofthe 2nd International Conference on Image and Signal Processing. Tianjin:[s.n.]， 2009， 7: 3902-3906.

[8]NYQUIST H. Thermal agitation of electricity in conductors[J]. Physical Review， 1998， 32: 110-113.

[9]MANOLAKIS D G. Statistical and adaptive signal processing-spectral estimation， signal modeling， adaptive filtering and array processing[M]. [S.l.]: Graw Hill， 2003.

[10] 石興華，吳光敏.FIR帶通濾波器的FPGA實現(xiàn)[J].現(xiàn)代電子技術(shù)，2009，32(18):28-30.