三角晶格金屬柱PBG諧振腔的設計

摘 要:隨著回旋管向高頻發展，高次諧波互作用研究成為重要方向。當普通回旋管工作在高次諧波時，效率很低，尤其是模式競爭問題很難解決。因此，必須改進結構，才能有效地實現高次諧波互作用。而光子晶體結構恰恰能對非工作模式實現有效的抑制。介紹了一種新的光子晶體諧振腔設計方法并成功設計出一個工作于高次模式下單模傳輸(TM01)的三角晶格金屬柱PBG諧振腔。進一步改進后得到了一個工作在Ka波段的光子晶體諧振腔。該結構能應用于目前項目研究，具有工程價值。關鍵詞:高次諧波; 模式競爭; PBG諧振腔; 單模; Ka波段

中圖分類號:TN124-34文獻標識碼:A

文章編號:1004-373X(2010)16-0127-03

Design of PBG Resonators with Triangular Metallic Lattice

WANG Lei-lei1， LUO Yong1， MU Hong-bing1， WANG Yong-qiang2

(1. School of Physical Electronics， University of Electronic Science and Technology of China ，Chengdu 610054，China;

2.Shanghai Institute of Iron Equipment Group Co. Ltd.， Shanghai 200070，China)

Abstract: Harmonic wave interaction research becomes more and more important with the development of gyrotron. There are several disadvantages of low efficiency and bad mode competition when the gyrotron working on the high cyclotron harmonic. Special structure shall be promoted to solve these problems， while PBG can meet those needs. A new way to design the PBG resonators with triangular metallic lattice and which works on the high modes with single mode transmission are introduced. Further more， a PBG resonator which works on the Ka-band is gained. Keywords: high harmonic; mode-competition; PBG resonators; single-mode; Ka-band

0 引 言

光子晶體，即所謂的“光半導體”，是一種由介質或金屬周期排列構成的人工材料。由于其獨特的性能和潛在的巨大應用前景，近十年來，光子晶體已成為一個發展迅速的科學研究新領域。光子晶體具有2個重要的特性:

(1) 光子禁帶(photonic band gap)也稱光帶隙結構。當入射光的頻率落在禁帶內時，光不能穿過光子晶體，無法在其中傳播。而處于具有完全帶隙結構(所有方向的入射都被全反射)的光子晶體中的原子自發輻射被禁止;

(2) 光子局域(photonic localization)。當在光子晶體的周期性或者對稱性結構中引入缺陷使得周期性或者對稱性被破壞時，在其光子帶隙中就會出現頻率極窄的缺陷態。與缺陷態頻率一致的光子就會被禁錮在缺陷附近，一旦離開缺陷位置光就會大幅度衰減。正是由于光子晶體所具有的類似于半導體的能帶結構，以及其可能對光的控制能力，光子晶體在集成光學，激光器，微波領域和光通信方面正飛速的發展[1-3]。

1 工作原理與諧振腔設計

1.1 工作原理

通過求解光子晶體中電磁波的麥克斯韋方程[4]:

[2+ω2c2(ε0+ε(r))]E(r)-[#8226;E(r)]=0

ε(r)=ε(r+a)(1)

式中:ε0為平均相對介電常數;ε(r)是周期性分布的介電系數，其周期為晶格矢量a，c為真空中的光速;ω為電磁波的頻率。

結果表明頻率只能取某些特定的值，而在其他頻帶范圍內方程無解。這說明在介電系數呈周期性分布的光子晶體中某些頻段的電磁波是被禁止傳播的，這些頻率區間被稱為光子禁帶。在此利用光子晶體的這一特性來制作諧振腔實現其單模傳輸的功能。

圖1為三角形晶格中的一個周期單元[5-6]，其中r為桿半徑，a為晶格常數。α為晶格矢量夾角。使用FDTD對該結構進行求解，可得到TM極化波的差分格式:

f(x，y，z，t)xx=iΔx≈fn(i+12，j，k)-fn(i-12，j，k)Δx

f(x，y，z，t)yy=jΔy≈fn(i，j+12，k)-fn(i，j-12，k)Δy

f(x，y，z，t)zz=kΔz≈fn(i，j，k+12)-fn(i，j，k-12)Δz

f(x，y，z，t)tt=nΔt≈fn+12(i，j，k)-fn-12(i，j，k)Δt(2)

圖1 三角形晶格中周期單元

其邊界條件為:

Ez(1，j)=Ez(N，j)e[i(a/2)ky+i(3a/2)kx]

Ez(j，1)=Ez(j，N)eikxa (3)

通過對式(2)，式(3)進行編程計算可以得到如圖2所示三角形晶格中TM極化波的能帶圖[7]。

圖2 三角形TM極化波的能帶圖

諧振腔為了讓電子更好的通過，一般選用TM模式作為諧振模式，而越低的模式有越好的Q值，所以對三角形晶格，其缺陷為正六邊形，將其近似為圓柱，取TM010。由于光子晶體的禁帶頻率為[8]:

fn=ωa2πc=fac=aλ，

f=cλ=fnca(4)

對于三角晶格缺陷，TM模式[9]

λ=2μmnπR2+pl2， f=cλ(5)

取p=0，有:

f=cμmn2πR(6)

為了使系統在單模下工作，選取工作點最好為只有一個禁帶，且缺陷中工作的最低模在禁帶最上沿的下方，這樣更高次模的頻率都落在通帶上，在缺陷中不能形成振蕩。

1.2 腔體的設計

缺陷設計中(缺陷數目為3k2-3k+1，k≥1)，為了使光子晶體只有一個禁帶，取填充比為比r/a為0.2，由能帶圖得對應的歸一化禁帶頻率范圍為:

0<2πfn<4(7)

需要TM010模式在禁帶內，而TM110及更高次模在通帶內。由于TM010模和TM110模的諧振頻率分別為:

fTM010=0.382cR，fTM110=0.61cR(8)

且在確定k值時，可以近似取R≈Rmax=ka-r，這時可將式(7)寫為:

0<2πac#8226;0.382#8226;cka-r<4<2πac#8226;0.61#8226;cka-r(9)

將r/a=0.2代入，可以求得k=1時滿足上述條件，即只需扣除中心一根金屬桿。

2 仿真與參數分析

2.1 仿真

本文采用基于時域有限差分法(FDTD)的HFSS軟件進行仿真，其仿真模型如圖3所示，仿真參數如下:晶格常數a=2 mm，金屬桿半徑r=0.4 mm，腔體模型厚度為2 mm。金屬桿材料設為PEC，腔體內為真空。缺陷內場分布如圖4所示。

圖3 仿真模型

圖4 缺陷內場分布

2.2 結果分析

加載前同等大小的矩形諧振腔內模式如表1所示。

仿真結果表明，加載光子晶體后諧振腔內僅在第17個模式中存有TM010模式(63.6 GHz)。

2.3 結構優化

PBG諧振腔中的諧振頻率以及諧振模式決定于金屬桿的半徑r以及晶格常數a。根據工作頻率的要求，選擇PBG諧振腔的參數，需要同時改變r及a的值，這樣大大增加了計算工作量。為了減少計算工作量，通常采用縮比原理。縮比原理的具體描述如下[10]:

表1 矩形諧振腔中的模式

模式諧振頻率 /GHz模式諧振頻率 /GHz

TM01012.53TM31026.64

TM11019.1TM32031.15

TM21025.04TM41034.38

在光子帶隙結構中描述電磁波傳播的方程為:

×1ε(r)×H(r)=ωc2H(r)(10)

式中:H(r)磁場矢量，保持介質介電常數不變，讓光子帶隙結構中的長度尺寸(晶格常數以及桿的半徑)增加s倍，即r′=sr，令′=/s，將其代入方程(10)得:

s′×1ε(r′/s)s′×H(r′/s)=ωc2H(r′/s)(11)

′×1ε(r′/s)′×H(r′/s)=ωcs2H(r′/s)(12)

如果定H′(r′)=H(r′/s)以及ω′=ω/s，則式(12)與式(10)的形式完全相同。

式(10)和式(12)說明，若將光子帶隙結構中的長度尺寸變為原來的s倍，則頻率變為原來的1/s倍，同時場的構不會發生變化。因此，在計算PBG腔的諧振模式及頻率時，同步放縮金屬桿半徑r及晶格常數a為原來的s倍，則腔體諧振頻率變為原來的1/s，而諧振模式不發生改變。據此，我們將原模型尺寸同時增大為原來的1.87倍，可以得到工作在34 GHz的PBG諧振腔。通過仿真驗證，得到了工作頻率為34.4 GHz的TM010單模PBG諧振腔。

3 結 語

通過前面的理論分析，成功地設計出一個三角晶格金屬PBG諧振腔。由仿真結果可以看出，加載光子晶體后諧振腔內僅存有TM010模式(63.6 GHz)，且處于高次模式中，相較于加載前同等大小的矩形諧振腔，很好的實現了單模高次傳輸功能。結構優化后的諧振腔工作在Ka波段(34.4 GHz)，可用于目前的項目研究，具一定的實用價值。

參考文獻

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