基于Matlab的低成本捷聯慣導的仿真系統研究

摘 要:低成本捷聯慣導系統的研制和開發已成為導航領域的主要發展趨勢之一，在選定了低成本的慣性器件后，系統預期的性能指標和最后樣機的性能測試結果之間往往存在著一定的差距，如何降低開發成本并縮短開發時間，就成了低成本捷聯慣導系統研制中的一個亟待解決的問題。這里基于Matlab設計了一個仿真系統，將捷聯慣導的軟件和硬件模塊化，該系統不僅可以完成對系統性能的預測和評估，也可完成對算法和器件選擇的優化。

關鍵詞:Matlab; 陀螺; 捷聯慣導系統; 仿真系統

中圖分類號:TP274 文獻標識碼:A

文章編號:1004-373X(2010)12-0078-03

Simulation System of Low Cost Strapdown Inertial Navigation System Based on Matlab

LIU Zhi-ping， SHAO Xiao-bing

(College of Computer， Xi’an Technological University， Xi’an 710032，China)

Abstract:The research and development of low cost strapdown inertial navigation system has been the tendency in the field of navigation. The discrepancy between the expected performance and the test data was inevitable with the usage of inertial sensors. How to reduce the cost and shorten the development period is a hot issue in the development of low cost strapdown inertial navigation system. A simulation system based on MATLAB was designed and constructed， the software and hardware of strapdown inertial navigation were modularized， the optimization of various algorithms and selection of sensors should be more convenient and feasible.

Keywords:Matlab; gyro; strapdown inertial navigation; simulation system

0 引 言

捷聯慣導系統由于體積小、成本低、可靠性好而大量應用在航空、航天、航海、兵器等領域[1-3]。它繼承了慣性導航系統的自主性、隱蔽性、實時性和無輻射的優點，隨著慣性器件技術的不斷發展，激光陀螺、光纖陀螺、硅微陀螺及硅微加速度計的出現，捷聯慣導系統的組成形式越來越多。但無一例外的是，捷聯慣導朝著高精度、低成本、高可靠性的方向發展，其應用領域早已超出了軍事應用的范疇，在民用的車輛和船舶、礦山的開采、海洋打撈上都可以看到捷聯慣導的應用例證[4-10]。

捷聯慣導系統和其他任何產品一樣，都存在著研制和開發、樣機制作、修改、定型、投產的過程，為了減少慣導產品研發的費用并縮短研發的時間，人們一直在尋找一種簡單可行的方法，以盡可能避免在方案論證階段和樣機研制階段的循環往復，計算機仿真就是經常采用的方式之一。本文正是在這一技術需求的前提下，利用Matlab的強大仿真功能，設計了捷聯慣導系統的仿真系統。該系統包括3大模塊:靜態誤差補償模塊;導航解算模塊(包括姿態、速度、位置的解算算法、動態誤差補償);輸出數據的動態演示模塊。

1 靜態誤差補償

所謂的靜態誤差補償就是指陀螺和加速度計的各種誤差標定系數的確定。陀螺的誤差標定系數一般包括安裝偏差角、力矩器刻度系數、陀螺的零漂、陀螺隨外界角振動和線振動引起的漂移、陀螺隨外界磁場的變化引起的漂移、陀螺隨溫度變化引起的漂移。加速度計的誤差標定系數包括安裝偏差角、力矩器刻度系數、加速度計的零偏、加速度計隨外界的磁場、振動、溫度的變化而產生的漂移。在這些誤差通過誤差模型被標定后，還需要考慮加速度計和陀螺之間的耦合影響。因此，在第一部分，主要完成各種靜態誤差的誤差建模和Simulink建模，亦即獎誤差的數學模型變為Matlab下的Simulink模型。陀螺的靜態誤差的Simulink模型中所包含的參數是通過Matlab中的m文件給出。加速度計的靜態誤差的建模和陀螺的靜態誤差的建?；疽恢拢驗橥勇莺图铀俣扔嬛g的數據需要交叉補償，所以，這部分的Simulink建模原理圖見圖1。

靜態誤差補償的數學模型為:

ωr=ωm-δω= 1-Sx -Mxy -Mxy

-Myx 1-Sy -Myz

-Mzx -Mzy 1-Sz ωm- Gxx Gxy Gxz

Gyx Gyy Gyz

Gzx Gzy Gzz am- G2x amx amz

G2y amy amz

G2z amz amy -

T gδT- H gH- ε g0- ε gr (1)

ar=am-δa= 1-Kx -Lxy -Lxy

-Lyx 1-Ky -Lyz

-Lzx -Lzy 1-Kz am-

Gaxx Gaxy Gaxz

Gayx Gayy Gayz

Gazx Gazy Gazz ωm

- T aδT- H aH- ε a0- ε ar (2)

式中:Sij為刻度系數;Mij為安裝偏差系數;Gij為陀螺對線加速度的敏感系數; T g為陀螺對溫度的敏感系數矩陣; H g為陀螺對磁場的敏感系數矩陣; ε g0為陀螺的常值漂移; ε gr為陀螺的隨機漂移;Ki為加速度計的刻度系數誤差;Lij為加速度計的安裝誤差系數; G aij為加速度計對角速率的敏感系數; T a為加速度計對溫度的敏感系數; H a為加速度計對磁場的敏感系數; ε g0為加速度計的零偏。在本文中，陀螺的隨機漂移和加速度計的零偏均被假定為一階高斯-馬爾科夫過程，具體的參數值可以設定，亦可通過實驗室標定后在Matlab下的m文件里設定。

圖1 靜態誤差補償原理圖

2 導航解算

導航解算包括姿態解算、位置解算和速度解算、系統級的誤差補償，這些誤差主要包括桿臂效應、圓錐誤差、劃船誤差和渦卷誤差[4]。

姿態解算包含了3種方法的解算模塊:方向余弦矩陣、四元數和等效旋轉矢量。這里只給出筆者改進的方向余弦矩陣算法，以及等效旋轉矢量算法的三子樣、四子樣算法的具體計算公式和仿真模塊圖。

姿態變換矩陣的微分形式為:

Lb= R Lb Ω bLb=- Ω LbL R Lb (3)

式中: R Lb是從彈體系到導航系的姿態變換矩陣; Ω bLb為彈體系相對導航系的角速度在彈體系上的投影的反對稱矩陣。在姿態計算頻率較高、精度要求較高時，這里在文獻[3]的基礎上提出了如下的改進型:

Φ(t，t0)=e∫tt0-ΩLbLdte- Ω LbLΔT

I- Ω LbLΔT+( Ω LbLΔT)22!-

( Ω LbLΔT)33!+( Ω LbLΔT)44!-

Ω LbLΔT= 0 Δθz -Δθy

-Δθz 0 Δθx

Δθy -Δθx 0 (4)

R Lb≈ 1-b(Δθ2y+Δθ2z) (a+c)Δθz+bΔθxΔθy bΔθxΔθz-(a+c)Δθy

bΔθxΔθy-(a+c)Δθz 1-b(Δθ2x+Δθ2z) bΔθyΔθz+(a+c)Δθx

bΔθxΔθz+(a+c)Δθy bΔθyΔθz-(a+c)Δθx 1-b(Δθ2x+Δθ2y)R Lb0 (5)

Δψ2=Δθ2x+Δθ2y+Δθ2z，a=1-Δθ2x+Δθ2y+Δθ2z6，b=12-Δθ2x+Δθ2y+Δθ2z24，c=Δψ4120 (6)

因為在姿態計算中存在著嵌套的問題所以對原來的算法進行改進，為了避免這個問題，必須增大數據采樣速率和姿態計算速率。

姿態計算需要輸入的信息是陀螺的輸出、彈體的對地速度、彈體的位置。

等效旋轉矢量三子樣算法的思路和原理為在一個采樣周期內等間隔取三個數據，并且假設此時的ωbLb按照二次曲線規律變化:

ωbLb(tk-1+τ)=a+bτ+cτ2 (7)

由此得到3個采樣:

θ1=∫h/30(a+bτ+cτ2)dτ，θ2=∫2h/3h/3(a+bτ+cτ2)dτ，

θ3=∫h2h/3(a+bτ+cτ2)dτ (8)

最后得到:

φ (tk-1+h)=θ1+θ2+θ3+3380(θ1θ3)+

5780θ2#8226;(θ1-θ3) (9)

式中: φ 為旋轉矢量。在求出 φ 后，四元數的更新過程為:

q =[cos(| φ |/2)，( φ /| φ |)sin(| φ |/2)]T=

[cos(| φ |/2)，( φ x/| φ |)sin(| φ |/2)，( φ y/| φ |)

sin(| φ |/2)，( φ z/| φ |)sin(| φ |/2)]T(10)

式中:| φ |為旋轉矢量的幅值。

等效旋轉矢量四子樣算法就是在1個采樣周期內選取4個采樣點:

ω=aτ+bτ2+cτ3，θ1=∫h/40ωdτ，

θ2=∫2h/4h/4ωdτ，θ3=∫3h/42h/4ωdτ，

θ4=∫h3h/4ωdτ(11)

對角增量表達式進行切畢雪夫正交多項式擬合，得到:

φ (T+h)=θ+52105θ1θ2+

212315θ1θ3+112315θ1θ4+

184315θ2θ3+212315θ2θ4+

52105θ3θ4(12)

不論是三子樣還是四子樣，在得到了旋轉使矢量后，均按照式(10)進行姿態計算。因此，姿態計算模塊的仿真原理圖可以統一化為圖2，只不過具體的計算公式不同。

圖2 姿態計算模塊

導航解算的數學公式如下:

X L=(rL，VL， R Lb)T

L= D -1VL

R Lbfb-(2 Ω Lie+ Ω LeL)VL+gL

R Lb Ω bib- Ω LiL R Lb(13)式中:

D -1= 0 1RM+h 0

1(RN+h)cos ψ 0 0

0 0 1，

RN=Re1-ε2sin2ψ，RM=Re(1-ε2)(1-ε2sin2ψ)3/2，

Re=6 378 137， f=298.257 223 563，

e=1/f， ε2=e(2-e)

式中:RN為卯酉圈的曲率半徑;RM為子午圈的曲率半徑;Re為橢球的長半軸;f為地球的扁率。

式(13)中第二個方程右邊的第三行就是姿態計算。姿態計算、速度解算和位置解算在捷聯慣導中是作為一個整體進行解算的。具體的原理圖如圖3所示。

圖3 SINS原理圖

基于該原理圖，速度解算和位置解算是需要知道地球引力場中重力加速度的模型，其具體的數學模型為:

ge=0

gn=7.546 619 578 9×10-10hsin(2ψ)

gu=(c00+c10sin2ψ+c20sin4ψ)+

(c01+c11sin2ψ+c21sin4ψ)h+

(c02+c12sin2φ+c22sin4ψ)h2

c00=9.780 326 582 929 618

c10=5.197 841 463 945×10-2

c20=-1.188 523 953 28×10-4

c01=-2.868 506 65×10-7

c11=4.105 897 709 9×10-10

c21=-9.247 990 22×10-13

c02=6.210 810 570 69×10-15

c12=-1.745 620 225 6×10-17

c22=-1.181 473 426×10-19(14)

式中:h的單位為m，ψ的單位為(°)，ci0的單位為m/s2。

圖4就是在Matlab 下進行速度和位置解算的模塊圖，它包括3個獨立的模塊，這3個模塊又包括各自的子模塊，這些子模塊在此略去。

圖4 位置和速度解算模塊圖

該處的動態誤差補償主要包括圓錐誤差、劃船誤差、渦卷誤差、桿臂效應的補償。這些誤差的原理已在文獻[4]中有了較為深入的研究。限于篇幅，此處略去這些誤差補償的仿真原理圖。

3 輸出數據的演示

本文提出的仿真模型輸出的數據包括位置、對地速度、姿態、時間信息。這些信息的輸出有2種形式:一種是直接利用示波器演示，1臺示波器既可以只顯示1組數據，也可同時顯示多組數據;另一種形式是把輸出數據放在工作空間中，通過編寫m文件實現數據的顯示，這樣顯示的數據可以帶有標題、坐標軸格式設置、數據的單位等信息。

4 結 語

本文基于Matlab仿真環境，提出了低成本捷聯慣導系統的仿真模型，具體包括了元器件的誤差補償模型、姿態的解算模型、位置的解算模型、速度的解算模型、動態誤差的補償模型、數據輸出等環節。這個模型的建立，為慣性器件的選擇、導航性能的評估、算法的優化提供了參考平臺。

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