基于粒子群算法的二維介質重構

摘 要:基于粒子群算法，在環狀構型下通過矩量法數值分析了二維均勻、各向同性連續介電常數實部，在無噪聲、有先驗約束情況下的重構。重構結果表明，該重構方法有較好的重構結果。該研究對基于電磁場理論的醫學臨床診斷乃至于對遙感、地球勘探、無傷探測等做了理論上的準備，也為生物體電磁波成像的實際應用提供了理論指導。

關鍵詞:粒子群算法; 逆散射; 重構; 適應值函數

中圖分類號:TP274 文獻標識碼:A

文章編號:1004-373X(2010)12-0081-04

2-D Medium Reconstruction Based on Particle Swarm Algorithm

ZHANG Xiao-di， WU Ji-xia， ZHANG Hui

(College of Physics and Electronic Engineering， Xianyang Normal University， Xianyang 712000， China)

Abstract:Based on the particle swarm optimization algorithm， the real parts of the 2-D homogeneous and the isotropic medium was numerically analyzed by the method of moment in the circle configuration， and the reconstruction was performed in the cases of no-noise and the prior constraint. The reconstruction results show the reconstruction method has a good effect. The study can provide the theoretical preparation， such as clinical diagnosis， remote sensing， nondestructive testing， and the theoretical guidance for the practical application of the electromagnetic imaging based on the electromagnetic wave theory.

Keywords: particle swarm algorithm; inverse scattering; reconstruction; fitting value function

0 引 言

生物體電磁波成像有電阻抗成像、電磁參數重構等方法。電磁參數重構，其本質是電磁逆散射，它是一種以電磁波作為信息載體，通過在電磁波作用下，測量生物體周圍的電磁波分布，反演生物組織內電磁參數的方法。由于生物體電磁參數分布可以反映生物體的溫度分布、血液容量、血氧含量等許多生理信息[1-2]，不同組織的電磁參數不同，正常組織與病變組織的電磁參數也不同。所以，生物體的電磁參數分布可以作為醫學臨床分析依據。

生物體電磁波成像的研究主要表現在對成像算法和成像技術的研究。對于算法研究，由于目標體的維數、不連續性、各向異性以及測量數據相對于求解目標的有限性等，造成求解問題的非線性、病態性[3]，使得對于成像算法的研究一直是生物電磁學乃至計算電磁學研究的熱點問題。在算法的研究中，有第一代基于衍射成像的逆散射算法，研究高對比度介質成像的確定性算法[4-7]，如Born方法、變形的Born方法、N-K(newton-kantorovitch)方法、L-M(levenberg-marquardt)迭代方法等。這些確定性方法的局限表現在要獲得準確和合理的結果，要求初始試探解足夠接近實際值。將研究問題轉化為一個全局搜索尋優過程的遺傳算法可以避開這些問題。然而，應用遺傳算法，要求確定遺傳算子(選擇算子、交叉算子和變異算子)、運行參數(群體大小、交叉概率、變異概率等)等影響求解結果和效率的多個參數。

為了克服遺傳算法的缺陷，Kennedy and Eberhart 1995年首次提出解決此類問題的智能優化算法——粒子群算法[8](particle swamp optimization，PSO)。PSO算法也是基于群體迭代，但沒有交叉和變異算子，群體在解空間中追隨最優粒子進行搜索。該算法收斂速度快，設置參數少(如遺傳算法要考慮3個遺傳算子，而粒子群算法僅考慮速度修正因子)，簡單易實現，又因為該算法本身深刻的智能背景，近年來，已有越來越多的學者將PSO算法應用于電磁學領域[9-10]?；诖?，本文將應用PSO算法，研究生物體電磁波成像。

1 積分表達式

考慮一個設置在均勻媒質εb中的任意形狀的柱狀物體(目標)，如圖1所示。該物體的軸向沿z軸方向，在x-y平面的橫截面用Ω表示，研究區域(背景區域)為S。假設用時諧波來照射該目標，時間因子為exp(jωt)，在區域Ω，點處復電介常數ε可表示為:

ε() =ε′()+jε″()=ε0[ εr()-εrb()](1)

式中:ε′是介電常數;ε″與處生物體電導率成正比;若目標函數用c()表示，則定義:



c()=εr()-εrb()=c′-jc″， ∈Ω

0，Ω (2)



式中:εr和εrb分別表示目標體和背景的相對介電常數。

圖1 目標重構的幾何構型

本文對生物目標體重構采用環狀構型，在環狀構型下，假設照射生物體的是柱面波，可認為該柱面波是由位于l′(1≤l≤L)處的線源(平行于z軸)產生的。所以，在TM情況下，第l個線源產生的柱面波[11]為:

il()=p ωμ0 4 H(1)0(kb|-′|)z (3)

式中:p是線源強度;ω是角頻率;H(1)0是第一類零階漢克爾函數;kb是在背景介質中波傳播的波數。

考慮到幾乎所有的生物體為非磁性物體[12]，即μ=μ0，則在TM波照射下，第l次照射對應的入射場eil，散射場esl，總場el有:

el()=ei()+∫sk20c(′)G(，′)e(′)ds，l=1，2，…，L (4)

esl()=∫sk20c(′)G(，′)el(′)ds， l=1，2，…，L (5)

式中:G(，′)=14jH20(kb-′);H20是零階第二類漢克爾函數。

2 粒子群算法

PSO是計算智能領域中除蟻群算法外的另一種智能算法。在該算法中，每個優化問題的解都是搜索空間中的一只“鳥”，稱其為粒子。所有的粒子都有一個被優化函數決定的適應值，粒子通過跟蹤個體極值Pp和全局極值Pg來實現群體優化。設在一個n維的搜索空間中，有m個粒子組成的種群 X =(x1，…，xi，…，xm)，其中第i個粒子的位置 X i=(xi1，xi2，…，xin)T，其速度 V i=(vi1，vi2，…，vin)T，它的個體極值 P pi=(pi1，pi2，…，pin)T，種群的全局極值為 P gi=(pg1，pg2，…，pgn)T。根據公式粒子:

vk+1i=wvki+c1r1(pkip-xki)+c2r2(pkig-xki) (6)

xk+1i=xki+vk+1i (7)

來完成自己的速度和位置更新。其中，w是慣性權重;c1，c2是加速常數。

2.1 粒子群算法流程

(1) 初始化。隨機初始種群位置、速度為v;設定加速常數為c1，c2;慣性常數為w等;

(2) 計算每個粒子的適應值;

(3) 比較每個粒子的適應值，獲取當前自身最優值Pp;

(4) 比較每個粒子的適應值與種群最優值，獲取當前種群最優值Pg;

(5) 通過式(6)、式(7)更新粒子的速度方向和位置，產生新種群;

(6) 檢查結束條件，若滿足，則結束尋優，否則，轉至(2)。

2.2 適應值函數

定義:優化問題的適應值函數:



φ= ∑ L l=1 ∑ M m=1 els(m)-elsd(m)∑ L l=1 ∑ M m=1 elsd(m)+

∑ L l=1 ∑ M m=1 eil(n)-eild(n)∑ L l=1 ∑ M m=1 eild(n) (8)

式中:eild(n)表示第l次照射下，在自由空間，在n處測量的入射場;elsd(m)，els(m)分別表示在第l次照射下，m處測量的散射場和仿真得到的散射場。

3 數值仿真結果

對于已知目標模型，采用矩量法求得在不同方向TM波照射下的散射場，并以此作為目標散射場的測量值?？紤]到現在大部分的文獻中研究生物組織的電常數c=c′-jc″內實部c′、虛部c″均大于零，且為了討論問題方便，在此，對重構目標電常數實部時，取背景為自由空間，同時，對重構的c′強加其值大于零的約束條件。

3.1 重構構型

假設均勻分布在半徑為1.5λ的圓周上8個線源(如圖1所示)，依次產生TM柱面波照射(環狀構型)目標體，接收電磁波的天線也分布在這8個位置上，產生入射波的頻率為100 MHz，研究的范圍為1.6×1.6，并劃分成8×8網格，每個網格的尺寸為0.2×0.2。為仿真方便起見，在數值運算時取pωμ04=1。

3.2 重構目標分布

如圖2所示，假設重構的目標為連續分布的介質，其函數分布為:



c=1.25cos[ π(i-5)/8] cos[ π(m-5)/8] ，

3≤m≤6，3≤i≤6 (9)

圖2 原設連續介質分布

3.3 參數選取

在粒子群算法的研究中，已有相當的學者做了大量的工作去理解和形成PSO算法參數，以實現全局優化和個體尋優間的平衡。因為，慣性因子w表征粒子慣性大小，表征粒子對原來速度的保持程度，較大的w可以加強PSO的全局搜索能力，較小的w能加強局部搜索能力。Yuhui Shi在文中建議w的取值在[0，1.4]。在文獻[13]中又提出w在0.9~0.4之間線性遞減的策略;Eberhart 通過研究又發現w取值在[0.8，1.2]時具有較高的收斂速度，在這個范圍之外，如果w過大就會導致算法很難收斂等。綜合考慮，在本節的數值仿真中，取w值為0.68。

加速因子c1和c2決定了粒子本身經驗信息和粒子其他經驗信息對粒子運行軌跡的影響，反映了粒子群之間的信息交流。較大的c1值，會使粒子過多的在局部范圍內徘徊，而較大的c2值，則又會促使粒子過早收斂到局部最小值。本節對于介質重構仿真的加速因子c1和c2取值為[0.6，2.8]。

為了將粒子限制在解空間內，本節的目標重構，對于在迭代中超出求解區域的粒子，其解取前次粒子值xi，對于種群優化的vi的約束采用線性遞減策略，即vi∈[ -0.2t/(t+mp)，0.2t/(t+mp)] 。其中，t為設定常數;mp為迭代次數。

3.4 數值仿真

數值仿真如圖3所示。對于原設的連續介質分布，如圖3所示。圖3給出了無噪聲，在加先驗約束的情況下，連續分布的目標在環狀構型、不同迭代次數系下的重構結果。其中左圖為重構結果，右圖為適應值函數隨迭代次數的變化關系。比較圖3重構結果看，粒子群算法在環狀構型下有一定的收斂性，同時圖3(a)~(d)也顯示，在迭代一定次數后，圖3(b)~(d)顯示在迭代次數大于1 000次后，適應值函數幾乎不發生變化。

圖3 在無噪聲、先驗約束情況下，連續介質重構

4 結 語

本文從電磁場理論出發，給出了介質重構的電磁場積分方程，基于粒子群算法，研究二維均勻、各向同性介質在環狀構型下的電常數重構，即對積分方程通過矩量法形成的矩陣，采用PSO算法進行介質實部重構。重構結果表明，粒子群算法可用于二維各向同性、均勻電常數的重構。

生物電磁學之電磁場與生物體相互作用研究已許多年了，基于電磁場理論的介質重構也有很多現在工業和技術上的應用方法。以PSO算法為切入點，進行生物體電參數重構，即電磁波成像的研究。其研究的意義在于:

(1) 就基礎研究而言，其成果將提供對醫學的臨床診斷乃至于對遙感、地球勘探、無傷探測等理論上的準備，為生物體電磁波成像的實際應用提供理論上的指導;

(2) 就應用前景而言，生物體電磁波成像技術將成為醫學影像學另一種新技術。

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