分形理論視角下的經(jīng)濟數(shù)學教學實踐探索

張林泉 佟松林

(廣東女子職業(yè)技術(shù)學院，廣東 廣州 511450)

分形理論視角下的經(jīng)濟數(shù)學教學實踐探索

張林泉 佟松林

(廣東女子職業(yè)技術(shù)學院，廣東 廣州 511450)

在經(jīng)濟數(shù)學教學中，分析涉及分形背景的數(shù)學模型應用實例，體現(xiàn)數(shù)學建模的思想，重視數(shù)學實驗和直觀教學，重視數(shù)學建模,培養(yǎng)學生的應用能力，對轉(zhuǎn)變經(jīng)濟數(shù)學教學方式進行有益的探討。

分形理論；經(jīng)濟數(shù)學；教學方法

在經(jīng)濟數(shù)學教學中數(shù)學理論的學習要與經(jīng)濟應用實例密切結(jié)合，理論的學習盡可能以其專業(yè)相關(guān)實際背景作鋪墊，同時從問題情景出發(fā)，注重多學科交叉融合，構(gòu)造數(shù)學模型，重視數(shù)學實驗活動和直觀教學，重視數(shù)學建模以培養(yǎng)學生的應用能力。有利于激發(fā)學生學習興趣，提高其學習的自主性，提高在經(jīng)濟學、管理學的專業(yè)領(lǐng)域中的數(shù)學應用能力，符合培養(yǎng)高素質(zhì)應用型人才的需要。

一 分形內(nèi)涵

分形理論是一門橫斷學科，從數(shù)學、振動力學到流體力學、天文學和計算機圖形學，從經(jīng)濟學到語言學、社會學，從分子生物學到生理學、生物形態(tài)學，從材料科學到地球科學、地理科學，等領(lǐng)域已廣泛應用。分形理論對方法論和自然觀產(chǎn)生重要影響，用分形的觀點看世界，這個世界實際上是以分形的方式存在和演化著的世界。

（一）分形定義、分類與分形維數(shù)

1.分形定義。通常將具有某種方式的自相似性的圖像或集合稱為分形。所謂自相似性，就是指局部與整體相似。這類某種形式的自相似性，不只限于嚴格的幾何自相似性，也可能是通過大量的統(tǒng)計而呈現(xiàn)出來的不很嚴格的自相似性。由于局部中又有其局部，而它們都是自相似的，這樣整體與局部都具有無窮盡的自相似的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，且在每一小局部中所包含的細節(jié)并不比整體所包含的少，所以分形是有無窮自相似嵌套性的圖形或集合。

2.分形分類。分形一般分成兩大類，確定性分形和隨機性分形。如果算法的多次重復仍然產(chǎn)生同一個分形圖，這種分形稱之為確定性分形。確定性分形具有可重復性，即使在生成過程中可能引入了一些隨機性，但最終的圖形還是確定的。隨機分形指的是盡管產(chǎn)生分形的規(guī)則是確定的，但受隨機因素的影響，雖然可以使每次生成過程產(chǎn)生的分形具有一樣的復雜度，但是形態(tài)卻會有所不同。隨機分形雖然也有一套規(guī)則，但是在生成過程中對隨機性的引入，將使得最終的圖形是不可預知的。即不同時間的兩次操作產(chǎn)生的圖形，可以具有相同的分維數(shù)，但形狀可能不同，隨機分形不具有可重復性。

3.分形維數(shù)。曼德爾布羅特引進了分數(shù)維，給出了一個分形集充滿空間的復雜程度的描述。每個分形集都對應一個以某種方式定義的分形維數(shù)，這個維數(shù)值一般是分數(shù)的，但也有整數(shù)維的分形集。分形維數(shù)的定義有多種方法，常用的分形維數(shù)概念有三種:豪斯道夫維數(shù)、自相似維數(shù)以及盒維數(shù)[1]。

分形維數(shù)是分形理論中核心的概念與內(nèi)容，它是由曼德爾布羅特為表征曲線的復雜性和處處不可微性而提出的，是刻畫分形體復雜結(jié)構(gòu)的主要工具，引入分形維數(shù)正是分形理論的新穎之處。應用分形理論研究自然現(xiàn)象最重要的問題是如何解釋分形維數(shù)的意義，分形維數(shù)的意義應包括分形維數(shù)本身的幾何意義和研究對象參量及其尺度變化的意義兩方面，兩者結(jié)合才是特定分形維數(shù)的含義[2]。

（二）分形的特征

肯尼思·法爾科內(nèi)(1990)認為分形集F具有以下特征[3]:(1)F具有精細的結(jié)構(gòu)，即在任意小的比例尺度內(nèi)包含整體。(2)F具有不規(guī)則性，使得它的整體和局部都不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述。(3)F一般具有某種自相似性，可能是近似的或統(tǒng)計意義下的。(4)通常F的分形維數(shù)(以某種方式定義)大于它的拓撲維數(shù)。(5)在大多數(shù)令人感興趣的情形下，F(xiàn)可以通過遞歸、迭代等簡單的方式產(chǎn)生。(6)其大小不能用通常的測度(例如面積、長度、體積等)來度量。

（三）分形的基本性質(zhì)

分形具有兩個基本性質(zhì):自相似性和標度不變性。自相似性是指某種結(jié)構(gòu)或過程的特征從不同的空間尺度或時間尺度來看都是相似的，或者某種系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)的局域性質(zhì)或局域結(jié)構(gòu)與整體相似，另外在整體與整體之間或部分與部分之間，也會存在自相似性；所謂標度不變性，是指在分形上任選一局域，對它進行放大，得到的圖形會顯示出原圖形的形態(tài)特征[4，5]。

二 分形知識在經(jīng)濟數(shù)學教學中的應用實踐

我們認為經(jīng)濟數(shù)學教學應把培養(yǎng)學生的應用能力放在首位，在課堂教學中借鑒分形理論理念，探討新的教學方法，及時將新觀點融入課堂，結(jié)合典型案例將知識傳授與能力培養(yǎng)相結(jié)合，引導學生在案例教學中能夠獨立分析問題、解決問題，使學生在解決實際問題過程中既體會到經(jīng)濟數(shù)學的實用性又獲得成功的體驗，從而激發(fā)學習興趣及動力，有助于提高經(jīng)濟數(shù)學教學的時效性。

（一）注重數(shù)學實驗和直觀教學，體會形與數(shù)的統(tǒng)一

教師鼓勵引導學生利用各種信息網(wǎng)絡環(huán)境資源查看分形圖，挖掘分形圖蘊涵數(shù)學思想，領(lǐng)會數(shù)學的理性精神，欣賞數(shù)學的魅力，使學生從一個新的視角認識傳統(tǒng)圖形。培養(yǎng)訓練學生自主學習策略方法，提供自主學習的空間，以滿足不同層次學生學習的需要。啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)分形圖形所具有對稱、節(jié)奏和韻律、平衡、自相似性、嵌套以及分叉、纏繞、和豐富的變換等特點，體會分形圖形的對稱美、簡潔美、奇異美與和諧美，利用數(shù)學的美使學生心智得到陶冶。

分形圖形在空間結(jié)構(gòu)上體現(xiàn)傳統(tǒng)藝術(shù)形態(tài)中的對稱形式，分形圖形具有一種局部和更大的局部、或者是局部和整體的對稱，具有無限精細的結(jié)構(gòu)層次，在自相似的遞歸結(jié)構(gòu)中，無論是在哪一個層次的局部都保持整體的基本形態(tài)，獲得整個圖形的和諧、秩序與均衡。分形樹、謝爾賓斯基三角形和經(jīng)典的曼德爾布羅特集等就是具有自相似特性的典型分形圖形。這種自相似性也可以從復映射 z → z2+c的經(jīng)典M集的逐步放大得到，啟發(fā)學生積極主動地去體驗探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新，利用Matlab等軟件，改變常數(shù)c的取值，可以得到各式各樣的Julia集。通過實驗增強了學生的實踐動手能力，調(diào)動了學生全身心地投入到思考、討論、探究、解決問題的學習活動中，提高了學習效率。

（二）注重數(shù)學建模，運用案例教學法培養(yǎng)學生應用能力

在教學活動中創(chuàng)設數(shù)學問題情境，引入涉及有實際背景、理論背景及意義的分形數(shù)學模型，結(jié)合實例充分考慮教學目標、教學內(nèi)容及其內(nèi)在特點，適度運用案例、啟發(fā)、探討式的教學，可以體現(xiàn)數(shù)學建模的思想，幫助學生認識到分形的實際應用價值，從而激發(fā)學生學習興趣。在教師指導下學生自己動手，查找資料，分析歸納，得出結(jié)論，促使學生在教師指導下的自主學習過程中體會數(shù)學思維。

國內(nèi)外研究成果表明，城鎮(zhèn)體系的人口及經(jīng)濟規(guī)模的等級分布符合一些數(shù)學模型，如 Pareto分布模型及 G.K.Zipf的等級規(guī)模分布模型等，這些數(shù)學模型為城鎮(zhèn)體系的分析與規(guī)劃提供了科學依據(jù)。Zipf(1949)把自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律應用于城市人口、企業(yè)收入等現(xiàn)象，研究這些數(shù)量跟等級的關(guān)系。在其出版的《人類行為與最小努力原則-人類生態(tài)學引論》中，他進一步擴展了視野，討論了人類社會的眾多社會、文化現(xiàn)象及自然現(xiàn)象。根據(jù)前人的研究成果提出了一個通用的城市規(guī)模分布法則(Zipf法則)[6]，與豪斯道夫維數(shù)公式進行類比可知，Zipf法則服從冪定律，為一分形模型，參數(shù)Zipf指數(shù)具有分維性質(zhì)，它是分維的倒數(shù)。通過作對數(shù)變換，由于冪函數(shù)關(guān)系等價于對數(shù)線性關(guān)系，所以，只要雙對數(shù)坐標圖上的位序-規(guī)模數(shù)據(jù)點的直線關(guān)系成立或者部分成立，即可判定分形的存在，直線上點的范圍即為無特征尺度的區(qū)域，做出散點圖，進行線性回歸擬合可求出其城鎮(zhèn)體系規(guī)模結(jié)構(gòu)的分維數(shù)。

我們從不同的角度去引進新的方法和新的思維以推動數(shù)學經(jīng)濟教學的實用性，而分形理論提供了一種全新的教學理念、教學形態(tài)和教學追求。

結(jié) 語

綜上所述，分形是結(jié)構(gòu)的深化，正是分形理論的提出和應用使人們以比從前更深刻更準確的方式方法去認知世界，為人們認識世界提供了新視角和新思路。教師應不斷吸納新的教學理念和方法，在經(jīng)濟數(shù)學教學中有機地把數(shù)學、經(jīng)濟應用和現(xiàn)代教育技術(shù)結(jié)合起來，注重數(shù)學建模和數(shù)學實驗，著重引進應用型實例，啟發(fā)培養(yǎng)學生獨立自主地去思考、探索、解決問題的能力，以利于促進學生的全面發(fā)展。

[1]楊展如,郝柏林.分形物理學[M].上海:上海科技教育出版社,1996.

[2]謝和平,薛秀謙.分形應用中的數(shù)學基礎(chǔ)與方法[M].北京:科學出版社,1997.

[3]肯尼恩·法爾科內(nèi)(曾文曲,劉世耀譯).分形幾何-數(shù)學基礎(chǔ)及其應用[M].沈陽:東北大學出版社,1991.

[4]孫霞,吳自勤,黃畇.分形原理及應用[M].合肥:中國科學技術(shù)大學出版社,2003.

[5]張濟忠.分形[M].北京:清華大學出版社,1995.

[6]Zipf,G.K.Human Behavior and the Principle of Least Effort:An Introduction to Human Ecology [M].Cambridge, Mass: Addison-Wesley Press, INC,1949.

（責任編校：燕廉奚）

G642

A

1673-2219（2010）08-0003-02

2010－03－10

張林泉(1965－)，男，廣東化州人，廣東女子職業(yè)技術(shù)學院講師，碩士，主要從事數(shù)學教學、應用數(shù)學研究。佟松林（1969－），男，遼寧朝陽人，廣東女子職業(yè)技術(shù)學院講師，美國奧斯特大學MBA碩士，研究方向為電子商務與網(wǎng)絡金融理論。