多自由度平臺微振動LQG最優控制

周曉宏

（深圳職業技術學院電子與信息工程學院，廣東 深圳 518055）

隨著科學技術的快速發展，當今世界的機械加工已邁入超精密時代。同時，高精密儀器設備也在不斷涌現。高科技設備諸如激光、光學儀器和集成電路生產設備，由于對工作環境中的各種微振動十分敏感，并且其造價昂貴，因而有必要對設備周圍的微振動干擾進行隔離和控制。

高精密儀器微振動隔振平臺系統設計，一般需要考慮各種復雜的環境微振動干擾，主要有來自軌道交通車輛行駛引起的地面振動、臺面試驗儀器引發的干擾以及直接干擾[1]。環境微振動干擾主要包括：大地脈動型地面振動頻率主要在0～1 Hz；房屋骨架、墻壁和地板一般易在15～25Hz產生與剪切和彎曲有關的振動；辦公室工作人員走動，會引起頻率在1～3 Hz的振動；通風管道、變壓器和發動機所引發的振動在6～65 Hz之間，建筑物自身的振動一般在10～100Hz之間[2]。

在微振動隔振系統設計時，往往需要考慮頻率范圍為0～100 Hz的微振動。這就要求設計的隔振系統，需要對中高頻干擾，如高精密儀器的運轉、軌道交通的行駛、以及人員走動等引起的地面振動等，具有良好的隔振效果；而且對低頻和超低頻干擾力，如由周圍聲音、空調氣流等引起的作用于平臺的壓力，也能進行有效的隔離[3]。

因此，筆者采用被動隔振與主動隔振相結合的混合隔振技術，建立了多自由度平臺系統的結構模型，并采用LQG最優控制理論設計了控制器，在基礎干擾和直接干擾下，平臺在X、Y、Z方向的位移時程和速度時程，取得了明顯的控制效果。

1 多自由度平臺的結構模型

設計的多自由度微振動混合隔振系統結構平臺尺寸，為長 2000mm、寬 1500mm、高 250mm，總質量為 2000 kg，平臺上允許操作荷載2000 kg。該系統主要包含有1個平板、8個超磁致伸縮致動器、5個空氣彈簧。4個超磁致伸縮致動器水平放置（兩個在x方向，兩個在y方向），另外4個超磁致伸縮致動器垂直放置在4個角落，5個空氣彈簧垂直分別放置在4個角落和平板幾何中心。

將平臺的運動視為一剛體，因而其運動可以被簡化為一個六自由度系統。6個變量分別是：平臺重心G在X，Y，Z方向的3個平動位移（xG，yG和 zG）；繞 X，Y，Z軸的 3個轉角位移（θx，θy和 θz）。用 X，Y，Z 方向的彈性元件（kxi，kyi和 kzi，i=1～5）和阻尼元件（cxi，cyi和 czi，i=1～5）作為空氣彈簧的理論分析模型。

則多自由度平臺系統的運動微分方程可表述如下：

其中，

[M]為質量矩陣；

[K]為剛度矩陣；

[C]阻尼矩陣；

Ka為超磁致伸縮致動器輸出力因子矩陣。

為了便于計算，需要對上面的運動微分方程進行簡化。首先對系統做如下假定：

（1）5個空氣彈簧的性能和尺寸完全一樣，每個空氣彈簧的垂直剛度均為kV，水平剛度（X，Y）均為kH；每個空氣彈簧的垂直方向阻尼均為cV，水平方向阻尼（X，Y）均為cH。

（2）L3=0.25 L2。

2 LQG最優控制系統的設計

考慮系統隨機輸入噪聲與隨機量測噪聲的線性二次型最優控制叫做線性二次型Gauss（LQG）最優控制。這是一種輸出反饋控制，對解決線性二次型最優控制問題，更具有實用性。

多自由度平臺系統的運動微分方程可表述為如下的狀態方程：其

ω(t)和 ε(t)為白噪聲信號；

ω(t)為系統干擾噪聲；

ε(t)為傳感器帶來的量測噪聲。

假設這些信號為零均值的 Gauss過程（E（ω）=E（ε）=0），

其協方差矩陣分別為

進一步，假設ω(t)和ε(t)為相互獨立的隨機變量，則

由此，最優控制的目標函數定義為

3 平臺整體六個自由度的振動控制仿真

選狀態變量為

其中，

[M]為質量矩陣；

[K]為剛度矩陣；

[C]為阻尼矩陣；

[Ka]為控制力輸出因子矩陣。

圖1 在基礎干擾和直接干擾下X方向被動控制和混合控制的位移時程

圖1為在基礎干擾和直接干擾下共同作用時，被動控制和主動控制的X方向位移時程，將兩者的位移結果對比得出：混合控制下X方向的位移均方根值為被動控制的18.29%。

圖2為被動控制和主動控制的速度時程，將兩者的結果對比得出：混合控制下平臺X方向速度均方根值為被動控制的22.57%。

圖2 在基礎干擾和直接干擾下X方向被動控制和混合控制的速度時程

5 結束語

本文采用被動控制與主動控制相結合的混合控制技術，建立了多自由度平臺系統的結構模型，該系統以空氣彈簧作為被動隔振元件，超磁致伸縮制動器為主動隔振元件。并建立了多自由度混合隔振系統的動力學模型，利用LQG最優控制理論設計控制器。利用DSPACE系統在MATLAB中用simulink進行的仿真研究表明，所設計的LQG最優控制器，可對基礎干擾和直接干擾所引起的微振動進行有效地控制，其振動效果明顯優于被動控制。

[1]Ungar EE，Sturz DH，Amick CH.Vibration Control Design of High-Technology Facilities[J].Sound and Vibration，1990，（24）：20-27,

[2]Nakamura Y，Najayama M，Masuda K，Yasuda M，Fujita T.Development of 6-DOF Microvibration Control System Using Giant Magnetostric tive Actuator[J].Proceedings of SPIE Conference on Smart Materials and Smart Structures,Newport Beach,CA,U.S.A.,1999，（3671）：229-240.

[3]張春良，梅慶德，陳子辰.微制造平臺微振動的H2/H∞混合控制[J].儀器儀表學報，2004，25(3):298-301。

[4]飛思科技產品中心.Matlab 7輔助控制系統設計與仿真[M].北京：電子工業出版社，2005.