機床導軌直線度計算公式的理論推導

孟慶云

（大連職業技術學院，遼寧 大連 116037）

在機床的安裝和維修過程中，經常要遇到機床導軌的找正問題。尤其是大型龍門刨床，由于導軌的長度比較長，且其技術要求比較高，因此需要測量的點就比較多，需要處理的數據也就相應增加，按機修手冊《機床修理精度檢查方法及檢查工具》一書介紹，通?？捎盟絻x來測量。將測得的數據在笛卡爾直角坐標系里，做出相應的曲線。然后用平行線法，用各組平行線包絡導軌形狀曲線法，來求得導軌最大直線度。用這種作圖法來求導軌最大直線度，顯然既費事，又不易掌握，而且作圖過程易產生誤差。如果有一個簡便、精確的導軌直線度計算公式來取代作圖法，那對提高生產效率和設備安裝、維修精度是大為有益的。下面就用坐標變換及分析推導來導出這個公式。

1 常規作圖法求取機床導軌直線度

為了便于理解與推導，在這里首先介紹一下常規機床導軌直線度曲線的坐標作圖法。例如：在測量某一導軌直線度時，所采用水平儀的讀數精度為0.02/1000，采用長度為500 mm水平儀墊鐵，把導軌分成n段（這里假設為5段）。水平儀在第一段中，水準器中氣泡向前移動一格，則為正值，即第一段導軌向上0.010mm，當水平儀移到第二段是，氣泡向前移動半格，則仍為正值，即第二段向上0.005mm。依次移到第三段時，如氣泡向前一格半。則此時仍為正值，即第三段導軌向上0.015mm。如果當水平儀移到第四段時，水準器中氣泡向后移動二格，則此時為負值，即第四段向下0.020mm。當水平儀移到第五段時，氣泡向后移動半格，則此時仍為負值，即第五段導軌向下0.005mm。

按作圖法求導軌直線度，首先做一個直角坐標（如圖1）。

圖1 作圖法求解導軌直線度

以原點0為始點，以OX軸代表導軌長度。OY軸代表導軌直線度。原點以上為正值，原點以下為負值。將測得的各段的直線度數值，在坐標系上找出對應的位置，即對應點，順次連接各點可得一條曲線。該曲線即為被測導軌的直線度曲線。連接首尾二點，可得一直線00'，過曲線頂點（如果曲線為凹形，則為曲線凹點）作一條平行于首尾連線00'的直線，交OY軸上一點，從原點到此交點的距離（0.027mm）即為導軌的最大直線度，位置在1500mm處。

這個例子中的曲線，是最簡單的形式，即只有一個波峰或波谷。當點較多時，測得的曲線，經常是數個波峰、波谷同時出現。這時導軌的直線度，要取各組平行線包絡導軌形狀曲線中的最小值。這里不再贅述。我們之所以要舉此例，目的是為下面推導計算公式服務。

2 求取機床導軌直線度的公式推導

從圖1可看出，如果曲線末點也落在OX軸上，則過頂點作平行首尾連線的線也就平行OX軸，這時導軌最大直線度就是曲線頂點的Y值。不過這種圖像，在直線度作圖過程中是個特例。這種偶然現象，恰是我們公式推導的出發點。

為了推導方便，我們假定：導軌直線度曲線的圖像，落在其首尾連線之上側時稱凸形曲線，反之稱凹形曲線。如果導軌直線度曲線的圖像，落在其首尾連線上下兩側時則成凹凸形曲線。

現仍以上面測得的數據（凸形曲線）為例，作圖2：

圖2 坐標變換法求解導軌直線度公式

以原點0為起始點，以ox軸代表導軌分段，以oy軸代表導軌的直線度，原點以上為正值，以下為負值。作出導軌直線度曲線0，a1，a2，a3，a4，a5，分別以b1，b2，…，bn（b5）代表水平儀原測值，且規定水平儀的水準器內氣泡移動方向與水平儀移動方向一致時，定為正值；反之，則定為負值。以y1，y2，…，yn（y5）代表a1，a2，a3，a4，an（a5）在坐標系內的y值，以x1，x2，…，xn（x5）代表點a1，a2，…，an（a5）在坐標系內的x值，則

這時過原點及an（a5）點作一條直線，且定為ox′軸，過原點作ox'軸的垂直線，定為oy'軸。則曲線在x'oy'坐標系內其首尾點均落在ox'軸上，顯然曲線0，a1，a2，a3，a4，an（a5）上各點的y'最大值，即為導軌最大直線度。

圖3 坐標變換后的輔助線圖形

根據圖3所示的幾何坐標變換后的輔助線圖形和三角函數計算公式，可得

將水平儀讀數精度同水平儀墊鐵長度乘積，用常數A來表示。在這個例子中則

A=0.02×500/1000=0.01

所以導軌的最大直線度，可利用坐標轉換后的曲線各點yn'值與常數A的乘積來求解得到。

3 驗證求取機床導軌直線度的推導公式

現在就以圖例數據用公式及列表，求解導軌最大直線度。

表1 參數計算表

從表1可知，我們將用水平儀測得的各點x值和原測值bn分別列入表格第一行和第二行。再利用每一個前點原測值加后點原測值便得各點的y值，列入表格第三行。再用公式計算出各點xntgа值，列入表格第四行。利用第三行減去第四行的值，可得各點的yn'值。列入表格第五行。即導軌曲線各點直線度的坐標值。最后用yn'值乘上常數A，便得導軌曲線各點直線度的實際數值（表格中第六行）。

從上表可得知，本實例中導軌曲線最大直線度為0.027 mm，位置在500×3=1500mm處。

當導軌曲線呈凹形時，同樣可用該公式來求導。不過這時得到的是負值，絕對值最大的負數，就是其導軌最大直線度，負號表示凹形曲線。

當利用公式列表計算出現正負值時，說明導軌曲線呈凹凸形，其最大直線度數值為最大正值與最小負值之差。不過在實際應用中，因為我們要求導軌曲線形狀一般總是成凸形，所以最終一般均為正值。因此導軌曲線呈凹形，凹凸形的實例在這里就不再重復論證。

4 結束語

顯然，利用圖像轉換及數理分析，還可推出其他公式，列表來求解導軌最大直線度。例如：在原則上首先消除坐標系角位差，來求導軌最大直線度。這里不再加以推導與論證。如果感興趣，則可再作推導與論證。

[1]談廣清，楊 晨.超長導軌直線度測量[J].計量技術，2003，(2)：34-35.

[2]馬海榮，郭聚東.給定平面內直線度誤差評定的實用方法[J].工具技術，2004,(04)：62-64.

[3]唐 杰，張士斌.測量長導軌直線度的一種新方法[J].一重技術，2006，(1)：28-29.

[4]李子雄.用水平儀測量導軌直線度的方法[J].現代技能開發，2003，(9)：103.