半球諧振子動(dòng)力學(xué)方程的建立及固有頻率的計(jì)算

趙洪波，任順清，李 巍

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)空間控制與慣性技術(shù)研究中心，哈爾濱150001，h84b@163.com)

半球諧振陀螺儀是一種哥氏振動(dòng)陀螺儀，已在衛(wèi)星和宇宙飛船中得到廣泛的應(yīng)用［1－2］，其高精度、長(zhǎng)壽命特性使其在空間技術(shù)方面有廣闊的應(yīng)用前景，國(guó)內(nèi)從十一·五期間已開(kāi)展了半球諧振陀螺儀的研制工作.在理論與實(shí)際應(yīng)用中半球諧振子的固有頻率是一個(gè)很重要的參數(shù)，特別是在由于諧振子密度、厚度等的不均勻性造成的半球諧振子頻率裂解的分析中有重要的作用.文獻(xiàn)［3］通過(guò)有限元法計(jì)算了半球諧振陀螺儀諧振子的固有頻率，文獻(xiàn)［4］給出了半球諧振陀螺儀諧振子的固有頻率的計(jì)算公式，但根據(jù)此公式編程計(jì)算的值與實(shí)測(cè)的固有頻率相差太大.因此本文經(jīng)過(guò)一系列的推導(dǎo)，建立了與文獻(xiàn)［4］不同的動(dòng)力學(xué)方程，給出了固有頻率的計(jì)算方法，并結(jié)合某半球諧振陀螺儀的具體參數(shù)給出了計(jì)算的固有頻率，這個(gè)頻率與實(shí)測(cè)結(jié)果相近.再取文獻(xiàn)［3］的一組半球諧振陀螺儀的基本參數(shù)，按照本文的方法進(jìn)行計(jì)算并和文獻(xiàn)［3］的結(jié)果比較，證明了本文方法的正確性.

1 半球諧振子動(dòng)力學(xué)方程

1.1 半球諧振子任意點(diǎn)的應(yīng)變方程

如圖1所示，半球殼諧振子中曲面一點(diǎn)的矢徑為R，R在坐標(biāo)系O－XYZ下的分量為Rsin αcos β，Rsin αsin β，Rcos α(其中R為矢量R的模).把經(jīng)線和緯線作為坐標(biāo)曲線α，β，它們的切線單位矢量e1，e2和法線單位矢量e3組成一個(gè)右手局部坐標(biāo)系.假設(shè)半球殼的中曲面任一點(diǎn)在局部坐標(biāo)系的位移為M=ue1+ve2+we3，法線方向上和此點(diǎn)距離為Z的一點(diǎn)的位移為MZ= uze1+vze2+wze3，假設(shè)變形后坐標(biāo)系變?yōu)閑'1，e'2，e'3，以θ表示在e1和e3確定的平面內(nèi)，e3向e1的轉(zhuǎn)角;φ表示e2和e3確定的平面內(nèi)，e3向e2的轉(zhuǎn)角;w1和w2分別表示在切平面內(nèi)，e1向e2，e2向e1的轉(zhuǎn)角.R為中曲面內(nèi)一點(diǎn)變形前的矢徑，P為同一點(diǎn)變形后的矢徑，在局部坐標(biāo)系下表示為基于基希霍夫－李亞夫假設(shè)，即薄殼變形前任何垂直于殼體中間表面的直線在變形后依然垂直于這一表面;沿殼體厚度的法線段的長(zhǎng)度在變形過(guò)程中保持常值;在相鄰的平行于中間表面的薄殼層表面間產(chǎn)生的法向應(yīng)力與應(yīng)力張量的其它分量相比是小量，可以忽略不計(jì).再根據(jù)板殼理論、曲面論的知識(shí)和幾何關(guān)系，得到半球諧振子中距離中曲面為Z的任一點(diǎn)的應(yīng)變方程［5］為

圖1 半球薄殼一點(diǎn)的位移，變形及局部坐標(biāo)系

1.2 半球薄殼單元平衡方程

薄殼單元的應(yīng)力分析如圖2所示，可求出沿中曲面為單位寬度的面積上的內(nèi)力.

在以α，β為法線的截面上，正應(yīng)力分別為σα，σβ，切應(yīng)力為ταβ，ταz，τβα，τβz.

圖2 薄殼單元應(yīng)力圖

圖3為薄殼微元受力分析圖，其中N1，S1，Q1，N2，S2，Q2為沿中曲面為單位寬度的面積上的內(nèi)力，M1，M2，M12，M21為沿中曲面為單位寬度的面積上的力矩，q1，q2，q3分別是外力沿坐標(biāo)系方向的投影，χ為扭率.根據(jù)面素的平衡條件建立力平衡方程，再求出其力矩平衡方程，從而得到半球薄殼單元平衡方程，如式(2)～(4)所示.

圖3 薄殼微元受力圖

其中:

以下力平衡和力矩平衡方程的推導(dǎo)，可參照文獻(xiàn)［6］.

1.3 半球諧振子二階固有振型的動(dòng)力學(xué)方程

在前面提到的半球薄殼單元平衡方程的推導(dǎo)過(guò)程中，在諧振的外力中必須考慮諧振子在慣性空間以角速度 [ΩxΩyΩz]T運(yùn)動(dòng)時(shí)的慣性力.根據(jù)哥氏定理計(jì)算得到諧振子的慣性力［X Y Z］T，并在時(shí)得

其中:ρ為諧振子的材料密度

得到以角速率旋轉(zhuǎn)并處于外分布載荷作用下的半球諧振子邊緣的運(yùn)動(dòng)方程為

將諧振子各點(diǎn)的位移按不可拉伸薄殼的二階固有振型展開(kāi)得

式中:

U(α)，V(α)，W(α)為半球薄殼二階固有振型振動(dòng)的瑞利函數(shù)，則半球諧振子邊緣某點(diǎn)的位移方程為

用Ax，Ay，Az分別表示式(5)～(7)的左邊，則半球諧振子邊緣的運(yùn)動(dòng)方程L可表示為

將式(8)代入式(5)～(7)并利用布勃諾夫－加廖爾金法［4］得

其中V為半球殼區(qū)域，化為球坐標(biāo)

化簡(jiǎn)得

進(jìn)行積分運(yùn)算，可得動(dòng)力學(xué)方程為

其中:

其中c0與文獻(xiàn)［4］中的計(jì)算結(jié)果不同，增加了很多項(xiàng)，使諧振子的動(dòng)力學(xué)方程更加精確，為進(jìn)行半球諧振子運(yùn)動(dòng)機(jī)理分析及其質(zhì)量，密度，厚度，楊氏模量等的不均勻性的誤差分析打下基礎(chǔ).

下面與中電集團(tuán)二十六所研制的半球諧振陀螺儀的實(shí)際參數(shù)進(jìn)行計(jì)算比較.

2 固有頻率的計(jì)算及比較

根據(jù)式(10)可知固有頻率ω0的計(jì)算公式為

由U(α)=V(α)=sinαtan2(α/2)，W(α)=－(2+cosα)tan2(α/2)，對(duì)它們求取關(guān)于α的各階導(dǎo)數(shù)U'(α)，U″(α)，U?(α)及W'(α)，W″(α)，W?(α)，W(4)(α)，然后代入c0，d，e和m0的公式中得

目前國(guó)內(nèi)生產(chǎn)諧振子的材料為熔融石英，其密度ρ=2 200(kg·m－3)，楊氏模量E=7.67× 1010(N·m－2)，泊松比γ=0.17，它的幾何參數(shù)為中曲面半徑R=0.015 m，厚度h=0.85× 10－3m，將以上各值帶入式(11)得:

這與實(shí)際測(cè)量結(jié)果是一致的.而按照文獻(xiàn)［4］給定的公式，計(jì)算結(jié)果為ω0=10 950 Hz，與實(shí)際不符.

文獻(xiàn)［3］給定的參數(shù)為ρ=2 500(kg·m－3)，γ=0.17，h=10－3m，R=0.014 5 m，E=7.67× 1010(N·m－2)，按照本文的方法計(jì)算得 ω0= 2 623.6 Hz，半球殼支柱的長(zhǎng)度和半徑對(duì)固有頻率影響較大［3］，故考慮支柱的影響后文獻(xiàn)［3］計(jì)算結(jié)果為ω0=3 640 Hz，與本文的按完整半球殼計(jì)算的固有頻率有一定的差別.按照文獻(xiàn)［4］計(jì)算得ω0=10 622 Hz，此結(jié)果與實(shí)際嚴(yán)重不符，是不正確的.

3 結(jié)論

1)在建立半球諧振子的應(yīng)變方程，力平衡方程的基礎(chǔ)上得到了半球諧振子的動(dòng)力學(xué)方程，比文獻(xiàn)［4］中的動(dòng)力學(xué)方程更加準(zhǔn)確;

2)通過(guò)與有限元法計(jì)算的固有頻率比較，證明了本文固有頻率的計(jì)算公式的正確性;

3)通過(guò)實(shí)際的半球諧振陀螺儀的參數(shù)計(jì)算并與實(shí)際結(jié)果比較，證明了本文固有頻率的計(jì)算公式及結(jié)果的正確性;

4)建立的半球諧振子動(dòng)力學(xué)方程是今后半球諧振子的質(zhì)量，密度，厚度，楊氏模量等的不均勻性的誤差分析的基礎(chǔ).

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