欠驅動AUV的魯棒位置跟蹤控制

畢鳳陽，張嘉鐘，魏英杰，曹 偉

(哈爾濱工業大學航天學院，哈爾濱150001，bifengyang@126.com)

自主水下航行器(autonomous underwater vehicle，AUV)是水下機器人的一種，其在深海資源勘探開發、海洋水文觀測、海洋測量等民用領域正起著重要作用，而且在軍事領域有著廣泛的應用前景，越來越受到各國的重視［1］.目前，世界上有近10個國家的40多個部門在研究軍用和民用AUV［2］;在AUV的這些實際應用中，精確的位置跟蹤控制通常是必需的［3－4］.但出于成本和減重等的考慮，AUV橫向和垂向大多沒有推進器，受到不可積的二階非完整約束，是欠驅動系統［5］，這使得AUV的跟蹤控制成為一個極具挑戰性的問題.文獻［4］針對欠驅動航行器，基于李雅普諾夫穩定性理論使用backstepping方法提出了一個位置跟蹤控制策略，但沒有考慮參數不確定性和外界干擾，而且其使用橫向速度作為虛擬控制輸入，提出的控制策略只能使位置跟蹤誤差收斂到一個很小的區域內.AUV是強非線性系統，很難獲得其精確的水動力系數，易受到海流等外界干擾影響［6－7］，這就需要控制器有較強的魯棒性.

基于以上考慮，本文針對具有參數不確定性和外界干擾的欠驅動AUV，基于李雅普諾夫穩定性理論使用backstepping方法設計了一個平面位置跟蹤控制器;為了提高控制系統的魯棒性，引入滑模變結構控制策略;為了得到一個更加實用的控制器，用一個陡峭的飽和函數代替滑模控制器中的符號函數.最后將該控制器對具有參數不確定性和外界干擾的欠驅動AUV系統進行了數值仿真，結果表明本文設計的控制器能很好地實現欠驅動AUV的平面位置跟蹤控制，有很強的魯棒性，動態性能很好.

1 問題描述

AUV運動一般為空間6自由度，不過在弱機動性時可以被解耦為水平面與垂直面的平面運動.本文僅討論水平面運動情況.欠驅動AUV的水平面運動學方程可表示為［8］

動力學方程可表示為［5，8］

其中:m11=m－X˙u，m22=m－Y˙v，m33=Iz－N˙r.

方程(1)和(2)中的參數的物理意義請參見文獻［5，8］.從上述方程可看出，橫向沒有控制輸入，是欠驅動系統.在實際應用中，參數m11，m22，m33，Xu，Xu|u|，Yv，Yv|v|，Nr和Nr|r|都是正值，Fu，Fr，u，r，˙u和˙r都是有界的.由于方程(2)中的系統參數的標稱值并不足夠精確，以P，P0和P*分別代表系統參數的實際值，標稱值和攝動值，它們關系可表示為

則方程(2)可重寫為

其中

假設參數不確定性P*是有界的，且

其中－0.5＜ζ＜0.AUV在近水面主要受波浪干擾，在離水面較遠處主要受海流干擾，這兩者都較難精確建模［9］.根據文獻［6，10］，外界干擾一般可取為以下形式

其中b=［b1b2b3］T代表干擾力和力矩向量; ω =［ω1，ω2，ω3］T∈R3代表平均值為零的高斯白噪聲;T∈R3×3是一個正值對角矩陣;Γ∈R3×3是一個表征高斯白噪聲幅值的對角矩陣.為了更好地分析有無外界干擾情況下的仿真結果，同時考慮到外界干擾都是有界的［6］，本文的外界干擾d=［d1d2d3］T取為

為了便于論述，定義

以pd=［xd(t)，yd(t)］T:［0，∞)→R2代表一條足夠光滑的時變的期望軌跡，且該期望軌跡的兩階導數有界.則本文研究的問題描述如下:針對方程(1)～(7)表示的欠驅動AUV系統，設計一個控制器使所有閉環信號有界且跟蹤誤差‖pdp‖快速收斂到零附近的一個可以任意減小的鄰域.

2 魯棒位置跟蹤控制器設計

Backstepping是一種非常有效的非線性系統控制器設計方法，它通過逐步修正算法，設計鎮定控制器實現系統的全局調節或跟蹤，在每一步把狀態坐標的變化、不確定參數的自適應調節函數和一個已知李雅普諾夫函數的虛擬控制系統的鎮定函數等聯系起來［11］.

2.1 v的有界性

由于橫向沒有控制輸入，所以很有必要先討論下v的有界性.定義一個控制李雅普諾夫函數

結合方程(2b)，其導數為

其中χ=max(|m11ur|+|d2|)，方程(8)可重寫為

根據文獻［12］，方程(2b)代表的系統是輸入狀態穩定的，且

2.2 控制器設計

為了便于表達，定義

該角度取決于已知的期望位置xd和yd的變化率，完全不受模型不確定性的影響，通過定義ψe=ψd－ψ可以確定AUV相對參考軌跡的姿態.假設期望變量和都是有界的，ψe的初始值滿足和cos ψe(t0)≥ε，其中ε是一個待定的正常數.

定義慣性坐標系位置跟蹤誤差為

則體坐標系下的跟蹤誤差可表示為

從方程(9)可得

則只需設計控制律使跟蹤誤差ex和ey快速收斂到零附近的一個可以任意減小的鄰域.根據方程(1)和(9)，經計算可得ex和ey的導數為

步驟1 鎮定跟蹤誤差ex和ey.首先定義一個控制李雅普諾夫函數

其導數為

選擇

為了使 ˙V1為負值，以u和α為虛擬控制輸入，選擇其期望值為

其中k1和k2都是正常數.為了確保存在ψe，使得vpsin ψe=v成立，假設vp滿足將 ud和αd代入方程(10)可得

方程(12)變為

定義一個新的控制李雅普諾夫函數V2為

其導數為

選擇控制輸入Fu為

從方程(4a)，(5a)和(15)計算可得

為了便于表述，定義

選擇

則

其導數為

經計算方程(11)和(13)可得

其中k4是一個正常數，方程(16)變為

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則方程(17)變為

定義一個新的控制李雅普諾夫函數V4為

其導數為

選擇控制輸入Fr為

其中k5和η3為待定的正常數，方程(19)變為

從方程(4c)，(5c)和(20)計算可得

為了便于表述，定義

選擇

則

即|d'3|≤η3，則V4的導數滿足

根據文獻［12］，最終的閉環系統是指數穩定的，位置跟蹤誤差將指數趨近到零.

2.3 關于控制輸入Fr的討論

需要特別注意的是，當cos ψe等于零的時候，rd將變成無窮大，控制輸入Fr也變成無窮大而沒有意義，所以有必要討論下在使用本文提出的控制器且滿足ψe的初始條件假設情況下，ψe的變化范圍.

假設初始時刻為t0，考慮到和都是有界的，ψe的初始值滿足和cos ψe(t0)≥ε，所以V4(t0)是有界的.根據文獻［12］取γ=min{k1， k2， k3， k4， k5}，由方程(21)可得

結合方程(18)可得

則|rd(t)|和|cos ψe(t)|滿足

因此|rd(t)|和方程(20)中的控制輸入Fr都是有界的.

2.4 一個實用控制器

在理論上，方程(15)和(20)的控制律能取得很好的控制性能，但該控制律的控制信號是不連續的，將產生抖振現象.在實際應用中，AUV系統是極其不希望出現抖振現象的.為了削弱抖振，根據文獻［12］，可用一個抖振的飽和函數來代替符號函數，則控制律可重寫為

其中

其中σ1和σ2都是很小的正常數.根據文獻［12］，通過增大控制增益，或者減小σ1和σ2，該控制律能使跟蹤誤差收斂到零附近的一個可以任意減小的鄰域，能夠解決本文的位置跟蹤問題.

3 數值仿真

根據文獻［10，13］，外界干擾系數為

AUV系統的標稱參數參見文獻［8］，假設最大的參數不確定

為了論證本文提出的控制器的魯棒性，數值仿真包括以下3個仿真模型:1)標稱參數且無外界干擾的標稱模型;2)p*=－0.1p0且有外界干擾的不確定模型1;3)p*=0.1p0且有外界干擾的不確定模型2.期望軌跡為

在AUV實際應用中，其控制輸入都是受限的，為了更好地檢驗本文設計的控制器的性能，本文假設軸向推力是非負的，控制輸入的幅值都受限，具體為

在接下來對所有仿真模型的所有數值仿真中，采用相同的控制器參數和初始條件，具體如下:控制器參數k1=10，k2=3，k3=k4=0.5， k5=0.1，σ1=σ2=1，η1=20，η3=20;初始值xe=1 m，ye=－1 m，ψ0=0，u0=0.01 m/s，v0=0，r0=0.

總的仿真時間為1 400 s，為了更好地觀察相應變量的動態響應和穩態響應，xe，ye，ψe，Fu和Fr仿真結果分成1 400 s，前50 s和最后1 350 s三部分顯示，具體仿真結果見圖1～3.圖1顯示的是正弦期望軌跡和3個實際軌跡，從圖中可以看到，對3個模型的仿真都有較好的宏觀的跟蹤性能;圖2描述的是慣性坐標系下的跟蹤誤差xe和ye，可看出對于3個不同的仿真模型，跟蹤誤差都快速收斂到零附近的一個很小的鄰域內;圖3描述了控制力Fu和控制力矩Fr，從圖中可看出，為了克服外界干擾的影響，控制力矩Fr變化較為劇烈，在無外界干擾時，Fu和Fr的響應曲線十分光滑.

圖1 正弦期望軌跡和實際軌跡

圖2 位置跟蹤誤差xe和ye

圖3 控制力Fu和控制力矩Fr

4 結論

本文基于李雅普諾夫穩定性理論，使用反步法，結合滑模變結構控制方法，針對具有較大不確定性和強非線性動力學的欠驅動AUV設計了一個魯棒平面位置跟蹤控制器;對具有參數不確定性和外界環境干擾的欠驅動AUV系統進行了數值仿真，結果表明該控制器能很好地實現欠驅動AUV的水平面位置跟蹤控制，具有很強的魯棒性.

［1］BOVIO E，CECCHI D，BARALLI F.Autonomous underwater vehicles for scientific and naval operations［J］.Annual Reviews in Control，2006，30(2):117－130.

［2］李濤，李曄.一種有效的水下機器人并行定位標圖方法［J］.哈爾濱工業大學學報，2008，40(5):818－822.

［3］STUTTER L，LIU H H，TILLMANC，et al.Navigation technologies for autonomous underwater vehicles［J］.IEEE Transactions on Systems Man and Cybernetics-Part C:Applications and Reviews，2008，38(4):581－589.

［4］AGUIAR A P，HESPANHA J P.Position tracking of underactuated vehicles［C］//Proc of the Amer Control Conference.Denver，CO:［s.n.］，2003:1988－1993.

［5］AGUIAR A P，PASCOAL A M.Dynamic positioning and way－point tracking of underactuated AUVs in the presence of ocean currents［J］.International Journal of Control，2007，80(7):1092－1108.

［6］FOSSEN T I.Guidance and Control of Ocean vehicles［M］.New York:Wikey，1994.

［7］NAIK M S，SINGH S N.State-dependent Riccati equation-based robust dive plane control of AUV with control constraints［J］.Ocean Engineering，2007，34(11－12):1711－1723.

［8］REPOULIAS F，PAPADOPOULOS E.Planar trajectory planning and tracking control design for underactuated AUVs［J］.Ocean Engineering，2007，34(11－12): 1650－1667.

［9］REFSNES J E，SIREBSEB A J，PETTERSEN K Y.Model-based output feedback control of slender-body underactuated AUVs:Theory and experiments［J］.IEEE Transactions on Control Systems Technology，2008，16 (5):930－946.

［10］LORIA A，FOSSEN T I，PLANTELEY E.A separation principle for dynamic positioning of ships Theoretical and experimental results［J］.IEEE Transactions on Control Systems Technology，2000，8(2):332－343.

［11］胡躍明.非線性控制系統理論與應用［M］.北京:國防工業出版社，2005.

［12］KHALIL H K.Nonlinear Systems［M］.3rded.Upper Saddle River，NJ:Prentice-Hall，2002.

［13］DO K D，PAN J，JIANG Z P.Robust and adaptive path following for underactuated autonomous underwater vehicles［J］.Ocean Engineering，2004，31(16): 1967－1997.