壓力敏感性材料球形孔洞動態(tài)擴展問題

唐立強，于雪梅，2，吳國輝

(1.哈爾濱工程大學(xué)航天與建筑工程學(xué)院，哈爾濱150001，tlq8854@126.com; 2.中航工業(yè)哈爾濱飛機工業(yè)集團有限責任公司飛機設(shè)計所，哈爾濱150066)

壓力敏感性材料在靜水壓力下存在塑性體積應(yīng)變，其力學(xué)性能與金屬材料有顯著的不同.由于球形孔洞膨脹模型具有對稱性、簡便明確并易于給出應(yīng)力和應(yīng)變場解，從而揭示材料的變形本質(zhì)，對壓力敏感性材料中球形孔洞膨脹模型的深入研究已成為當前固體力學(xué)中的重要課題.自Taylor、Bishop、Hopkins等人在工程領(lǐng)域中做出了開創(chuàng)性的工作以來，根據(jù)巖土材料的變形機理，采用彈塑性力學(xué)［1－2］、損傷力學(xué)［3－4］、宏觀 －細觀力學(xué)理論［5］，建立材料本構(gòu)方程的工作從來沒有停止過.最近，較為關(guān)注壓力敏感性材料球形孔洞動態(tài)擴展的問題.由于研究的領(lǐng)域不同，根據(jù)具體情況抽象出不同的受壓球形(柱形)孔洞膨脹模型，從而在理論上解決實際工程問題.對于巖石、金屬、混凝土等材料的高速沖擊試驗和理論問題，F(xiàn)orrestal和Tzou研究了混凝土靶的侵徹問題［6］，Satapathy研究了脆性陶瓷中球形孔洞的動態(tài)擴展問題［7］，M.Mata等研究了在理想塑性和冪硬化材料中壓痕試驗的球孔擴展與錐頭尺寸的關(guān)系［8］;在孔洞的動態(tài)擴展方面，Durban和Masri研究了在可壓縮彈塑性Mises和Tresca固體以及在壓力敏感彈塑性介質(zhì)中孔洞的動態(tài)膨脹問題［9］.應(yīng)指出的是，這些研究大多采用M－C屈服準則或D－P準則，而在球?qū)ΨQ條件下，M－C屈服準則和DP準則具有相似的形式，即有效應(yīng)力可以由Σr、Σθ線性表出，因此，減小了問題的復(fù)雜性.

本文首次采用橢圓型壓力敏感性材料屈服準則和自相似假設(shè)，并結(jié)合三區(qū)模型，研究冪硬化材料球形孔洞動態(tài)擴展的問題.最后通過數(shù)值計算討論了不同條件下材料參數(shù)對場量的影響.

1 孔洞動態(tài)擴展模型

在自相似假設(shè)下，考慮一個半徑為A受內(nèi)壓P作用的球形孔洞的動態(tài)擴展問題，設(shè)內(nèi)徑擴展速度 ˙A為常數(shù).問題模型如圖1所示.其中ξ= r/A，A為空間的內(nèi)半徑，ξi為彈塑性交界，ξw為波前相對尺度參數(shù).

邊界條件為

當ξ=1時，

當ξ=ξi時，

當ξ=ξw時，

式中:下標e表示彈性區(qū)，p表示塑性區(qū).

圖1 球形孔洞動態(tài)膨脹場示意圖

2 基本方程

2.1 幾何方程

采用球形坐標(r，θ，φ)可以得到幾何方程:

2.2 運動方程

式中:()′表示對ξ求導(dǎo)，ρ0為變形前的材料密度，為球形孔洞量綱一化的膨脹速度.

2.3 本構(gòu)方程

采用橢圓形屈服條件和塑性勢函數(shù)，分別為

式中:k1，k2為常數(shù).α1，α2反映了材料的壓力敏感性.當α1=α2時，材料是相關(guān)聯(lián)的;而當α1= α2=0時，則退化為著名的Mises材料.

結(jié)合正交流動法則和材料的本構(gòu)關(guān)系，可得冪硬化材料的本構(gòu)方程為

Σe、Σ為定義等效應(yīng)力和塑性勢.在球?qū)ΨQ條件下，有

顯然，若材料是相關(guān)聯(lián)材料時，Σe=Σ.

2.4 控制方程

將式(4)、(5)代入式(7)，并化簡有

將式(12)帶入式(13)并化簡得

2.5 屈服條件

在塑性區(qū)，即當1≤ξ≤ξi時，材料滿足屈服條件，即

其中，Σy為量綱一化的屈服應(yīng)力(σs為屈服應(yīng)力).

綜上所述，式(6)、(12)、(14)即構(gòu)成了冪硬化材料的控制方程組，其中變量有(Σθ，Σr，V，ρ)，4個方程解4個未知數(shù)，方程是可解的.

3 彈性區(qū)的解

在彈性區(qū)，有εp=0，此時式(9)即化為彈性本構(gòu)關(guān)系.考慮邊界條件(1)～(3)以及在彈性區(qū)有|Σr|?1，|Σθ|?1，，則可求得彈性區(qū)的解為

4 冪硬化材料塑性區(qū)的解

其中:

方程(20)～(23)結(jié)合(16)、(17)確定的初始條件通過數(shù)值算法即可求出塑性區(qū)的場量分布.注意到當εp=0時，解(20)～(23)即化為彈性區(qū)的解.

5 數(shù)值計算

方程(16)、(17)中存在兩個待定參數(shù)ξi和C2，在彈塑性邊界，應(yīng)力應(yīng)滿足屈服條件(15)，即有

因此，參數(shù)ξi和C2是相關(guān)的.在計算中只需采用打靶法，給定任意的ξi≥1，，把計算的應(yīng)力場帶入式(21)，直到在ξ=1處滿足V=1為止.

對相關(guān)參數(shù)分別取不同值，通過數(shù)值計算確定各參數(shù)對場量的影響.

1)考察泊松比υ對場量的影響

當m=0.25，B=100，n=2，α1=0.25，α2=0.1，υ=0.15/0.35時，結(jié)果見圖2.

圖2 不同泊松比υ對場量的影響

2)考察m對場量的影響

當υ=0.25，B=100，n=2，α1=0.25，α2= 0.1，m=0.15/0.35時，結(jié)果見圖3.

3)若材料是相關(guān)聯(lián)的，考察壓力敏感性參數(shù)α1=α2對場量的影響

圖3 不同孔洞膨脹速度m對場量的影響

當材料參數(shù)υ=0.25，B=100，n=2，m= 0.25，α=α=0/0.25時，結(jié)果見圖4.

圖4 相關(guān)聯(lián)材料，不同α1=α2對場量的影響

4)若材料是非相關(guān)聯(lián)的，考察參數(shù)α1，α2對場量的影響

圖5 非關(guān)聯(lián)材料，α1，α2對場量的影響

6 結(jié)論

1)在塑性變形區(qū)內(nèi)，應(yīng)力和應(yīng)變(絕對值)隨著ξ的減小而增大，在內(nèi)半徑處達到極大值，滿足球形孔洞膨脹特征.

2)在塑性變形區(qū)內(nèi)，隨著ξ的增大，V值減小，在彈塑性邊界ξi處其與彈性區(qū)保持連續(xù).

3)在塑性變形區(qū)內(nèi)，ρ/ρ0的變化是復(fù)雜的.從方程(20)可以看出ρ/ρ0的變化不僅與α2相關(guān)，而且與泊松比ν相關(guān).在ν較小時，彈性的體積變形大于塑性體積變形，出現(xiàn)ρ/ρ0≤1的現(xiàn)象，在ν=0.35時，在邊界處ρ/ρ0≥1，說明在塑性變形區(qū)內(nèi)有硬化現(xiàn)象的發(fā)生(見圖2).

4)量綱一化的膨脹速度m對塑性區(qū)的大小有較大影響.在內(nèi)半徑處V保持常數(shù)，隨著m的減小，塑性區(qū)的尺度增大.另外，m對塑性區(qū)的應(yīng)力、速度、密度場均有影響(見圖3).

5)關(guān)聯(lián)參數(shù)α1，α2對應(yīng)力場的影響很小，但影響ρ/ρ0的變化.當α21=0，α22=0.15時，在邊界附近ρ/ρ0≥1;當α21=0.15，α22=0時，在邊界附近ρ/ρ0≤1.因而關(guān)聯(lián)參數(shù)α2影響ρ/ρ0的變化(見圖4，5).

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