一種深空自主導航系統可觀測性分析方法

常曉華，崔平遠，2，崔祜濤

(1.哈爾濱工業大學深空探測基礎研究中心，哈爾濱150080，changxh1982@126.com; 2.北京理工大學宇航學院，北京100081)

對于深空自主導航系統，由于不能夠直接測得探測器與中心天體或導航目標天體之間的距離，通常利用敏感器測量參考天體(太陽、恒星、行星及其衛星、小行星等)相對于探測器的方位信息［1］，并結合狀態估計算法，解算出探測器的位置和速度.然而，利用測量信息能否解算出探測器的軌道主要依賴于自主導航系統的可觀測性.因此，判斷自主導航系統能否滿足任務要求的第一步，就是分析其可觀測性.由于深空自主導航系統對應的狀態方程和觀測方程的非線性導致分析其可觀測性存在一定的困難.傳統的方法是將其線性化后離散化，然后利用線性離散系統的可觀測性理論來分析導航系統的可觀測性［2］.Lee和Markus［3］論證了線性化系統可觀測性與原系統局部一致.但是，一個可觀測的連續系統，離散化后并不一定能保持其可觀測性.刑光謙［4］針對離散線性系統，利用隨機系統的可觀測性矩陣定義了量測系統的可觀測度，并建立了該可觀測度與狀態估計精度之間的解析關系; Fredric M.Ham［5］利用Kalman濾波的協方差陣定義可觀測度，以協方差陣的特征值大小來衡量系該可觀測性的強弱.

對于非線性系統，現有的可觀測性分析方法主要分為以下三類:一類是將非線性系統線性化后得到系統的可觀測矩陣，然后利用線性系統的可觀測分析方法［6～8］;一類是從非線性系統出發，分析系統的可觀測性秩條件［9］和局部弱可觀測［10］等;第三類是利用濾波算法產生仿真結果［5］.這些方法只可以定性地分析系統是否可觀測，或者判斷某一時刻哪些狀態或其線性組合是否可觀測，并不能定量地給出系統在整個時間區間內的可觀測度.

針對上述問題，本文結合微分幾何的非線性系統理論，通過李導數求解非線性系統的可觀測矩陣，并利用條件數給出了一種衡量系統可觀測度的分析方法;將該方法應用于深空自主導航系統的可觀測性分析，在建立太陽視線矢量觀測模型的基礎上，研究不同軌道參數對系統可觀測性能的影響;結合擴展卡爾曼濾波建立自主導航算法，仿真分析不同可觀測度條件下自主導航系統的狀態估計精度.通過仿真結果驗證提出的非線性系統可觀測分析方法的可行性.

1 非線性系統的可觀測性

考慮如下非線性系統

式中:狀態矢量X∈Xn?Rn，觀測矢量z∈Rm;狀態方程f和觀測方程h為C∞內光滑的解析函數.

由微分幾何理論可知［10］，h沿f的各階李導數為

進而，可以得到研究非線性系統可觀測性的一個常用工具，即觀測空間.系統Σ的觀測空間H是由生成的線性空間，該空間按如下方式定義了Σ的可觀測性分布:

對X0∈Xn，如果dim dH(X0)=n，則稱系統Σ在X0點滿足可觀測性秩條件.若對?X∈Xn，Σ都滿足可觀測性秩條件，則稱系統Σ滿足可觀測性秩條件［10］.

由dHn定義的非線性系統的可觀測矩陣Q(X)可以表示為

局部弱可觀測性在數學上強調了狀態的局部可區分性，而在實際中需要確定的狀態對象往往是帶有局部區域限制的，因此，在可觀測性分析中強調局部這個限制并無必要［12］.系統的可觀測性只能說明系統的狀態是否能夠從觀測量來確定，而無法反映估計性能的好壞.為描述系統狀態估計的精度，需要進一步研究系統的可觀測度.

在矩陣理論中條件數定義為

式中:σmax和σmin分別為矩陣的最大奇異值和最小奇異值.可見，矩陣的條件數是一個大于或等于1的正數，條件數越大，說明矩陣越接近于病態.因此，利用矩陣的條件數可分析系統的可觀測度.

基于上述分析，利用可觀測矩陣Q(X)的條件數定義的非線性系統的可觀測度為

由可觀測度的定義可知，對X0∈Xn有0≤δ(X)≤1;當δ(X)＞0時有rank(Q(X))=n，即系統Σ是局部弱可觀測的;當δ(X)=0時有rank(Q(X))＜n，即系統Σ不是局部弱可觀測的，當然也就不是可觀測的.可見，可觀測度的定義中還蘊含著系統是否可觀測條件.

由上述分析知，可觀測度依賴于系統的狀態模型和觀測模型，與觀測數據本身無關，故可作為比較觀測模型好壞的一個性能準則.顯然，在應用中應選擇可觀測度高的觀測模型，以便獲得高精度的狀態變量估計值.

2 深空自主導航系統的可觀測性

2.1 自主導航系統建模

在日心慣性坐標系下，深空探測器的軌道動力學模型為

式中:r=［x， y， z］T和分別為探測器的位置和速度，且r=‖r‖;μ為太陽引力常數;a為行星引力、太陽光壓等未建模的攝動加速度矢量.

選取狀態變量X=［rT， vT］T，根據軌道動力學模型得到探測器的狀態方程為

式中:w為系統模型誤差.

在深空探測任務中，可用于矢量觀測的參考天體主要有太陽、大行星及其衛星和已知星歷的小行星等，其中太陽是最穩定也是最重要的參考天體，能提供豐富的光譜信息和電磁信號，直接將太陽信息作為觀測量能夠簡化導航系統的信息處理過程［13］.太陽視線矢量的觀測模型如圖1所示.

圖1 太陽視線矢量觀測模型

圖1中，r為探測器在日心慣性坐標系下的位置矢量，l為系統觀測的太陽視線矢量.太陽視線矢量的觀測模型為

考慮到視線矢量的觀測誤差，可得太陽矢量的觀測方程為

式中:v為系統觀測噪聲，假設為零均值高斯白噪聲.

2.2 自主導航系統的可觀測性

取深空探測器相對日心黃道慣性坐標系的軌道參數為半長軸a=2×108km，偏心率e=0.25，軌道傾角i=23°，升交點赤經Ω=1.16°，近日點幅角w=108.89°，初始時刻真近角f=0°.

在計算過程中，由于軌道參數和觀測量選取不同的單位，會導致可觀測矩陣不同元素在數值上有很大的不同，從而無法正確分析導航系統的可觀測性，因此需要對軌道參數和觀測量進行無量綱化處理.

對于以太陽為中心天體的深空軌道，相應的距離單位［L］、速度單位［V］和時間單位［T］分別取為

式中:μs為太陽引力常數.

無量綱化后的狀態變量為

進而，利用X'可直接得到無量綱化的觀測量.

1)深空自主導航系統的可觀測度.圖2給出了可觀測度曲線.從圖中可以看出，在近日點導航系統的可觀測度較低，而在遠日點可觀測度較高.這是由于探測器在近日點飛行速度高，在飛越相同的空間距離過程中，飛行時間短，其觀測次數少，故可觀測度較低;而在遠日點飛行速度低，在飛越相同空間距離的過程中，飛行時間長，其觀測次數多，故可觀測度較高.可見，對于同一量測系統，使用的測量數據越多，可觀測度越高，與參考文獻［4］中的結論一致.

圖2 深空自主導航系統可觀測度曲線

2)半長軸對導航系統可觀測性的影響.在偏心率(e=0.25)和軌道傾角(i=23°)保持不變的前提下，圖3給出了半長軸a從1×108km到9×108km變化過程中導航系統可觀測度的變化曲線，半長軸的變化步長為1×107km.

圖3 半長軸對導航系統可觀測性的影響

從圖中可以看出，對于以太陽視線矢量為觀測量的導航系統中，軌道半長軸對系統可觀測度的影響比較明顯.當半長軸較小時，導航系統在近日點可觀測度較低，在遠日點可觀測度較高;而當半長軸較大時，導航系統在近日點可觀測度較高，在遠日點可觀測較低.

3)軌道傾角對導航系統可觀測性的影響.在半長軸(a=2×108km)和偏心率(e=0.25)保持不變的前提下，圖4給出了軌道傾角 i從0°～100°變化過程中導航系統可觀測度的變化曲線，軌道傾角的變化步長為10°.

圖4 軌道傾角對導航系統可觀測性的影響

從圖中可以看出，軌道傾角對基于太陽視線矢量的導航系統的可觀測度的影響并不明顯.這是因為軌道傾角只是改變探測器飛行軌道面在慣性空間的指向，而并不影響軌道速度和對太陽視線矢量的觀測.

4)偏心率對導航系統可觀測性的影響.在半長軸(a=2×108km)和軌道傾角(i=23°)保持不變的前提下，圖5給出了偏心率e從0.1～0.9變化過程中導航系統可觀測度的變化曲線，偏心率的變化步長為0.1.

圖5 偏心率對導航系統可觀測性的影響

從圖5中可以看出，偏心率的變化對以太陽視線矢量為觀測量的導航系統的可觀測度的影響比較復雜.為深入分析偏心率對系統可觀測度的影響，圖6給出了不同偏心率下系統的可觀測度在二維坐標系內的變化曲線.

圖6 偏心率對導航系統可觀測性的影響

從圖6可以看出，當0＜e＜0.6時，基于太陽視線矢量的導航系統在近日點可觀測度較低，在遠日點可觀測度較高;而當0.6≤e＜1時，系統的可觀測度變化曲線不再是簡單的近正弦曲線，而是在遠日點的可觀測度有所下降，并出現低于相鄰位置可觀測度的現象.其原因在于，對于偏心率較大的橢圓軌道，探測器在遠日點附近時，相鄰幾次對太陽視線矢量的觀測容易產生視線重疊現象，即觀測到的太陽視線矢量不可分辨，從而使得遠日點的可觀測度較低.

通過詳細分析軌道參數對基于太陽視線矢量的深空自主導航系統可觀測性的影響可知，文中提出的利用非線性系統可觀測矩陣的條件數定義的可觀測度的方法是可行的，能夠直觀地反映出不同圓錐軌跡下導航系統可觀測性能的變化.在具體的深空探測任務實施中，應選擇可觀測度高的觀測模型，以獲得高精度的軌道參數估計結果.

3 仿真分析

為進一步驗證導航系統可觀測度與狀態估計精度之間的關系，結合非線性擴展卡爾曼濾波(EKF)算法，以太陽視線矢量為觀測量，對不同可觀測度條件下的自主導航系統進行仿真分析.

基于太陽視線矢量的自主導航系統的狀態方程如式(1)所示，觀測方程如式(2)所示，基于EKF自主導航算法的具體過程見參考文獻［14］.在仿真分析中，以導航系統可觀測性分析的軌道參數作為標稱軌道，詳細仿真條件如下.

1)標稱軌道參數:半長軸a=2×108km，偏心率e=0.25，軌道傾角i=23°，升交點赤經Ω=1.16°，近日點幅角w=108.89°，初始時刻真近角f=104.48°;

2)初始位置誤差為6×105km，速度誤差為0.05 km/s;系統模型誤差陣為Q=1×10－15·I6×6;

3)太陽視線矢量測量誤差為5×10－5rad;

4)采樣時間間隔為1 800 s，仿真時間為1.8×107s.

由自主導航系統的可觀測性分析結果可知，初始軌道參數反向積分對應于可觀測度較低的系統(系統一)，正向積分對應于可觀測度較高的系統(系統二).在上述仿真條件下，圖7～10分別給出了兩種可觀測度情況下導航系統的位置和速度估計誤差曲線，表1列出了仿真結束時刻的位置和速度估計誤差.

圖7 位置估計誤差曲線(系統一)

圖8 速度估計誤差曲線(系統一)

圖9 位置估計誤差曲線(系統二)

圖10 速度估計誤差曲線(系統二)

表1 最終位置和速度估計誤差

從仿真結果可以看出，對于可觀測度較低的系統一，其導航濾波過程收斂較慢，最終位置估計誤差在450 km以內，速度估計誤差在7.5×10－5km/s以內;對于可觀測度較高的系統二，其導航濾波過程收斂較快，且最終位置估計誤差在147 km以內，速度估計誤差在2.9×10－5km/s以內.

可見，導航系統可觀測度的高低直接反映了觀測模型對狀態的估計性能，在應用中應選擇可觀測度高的觀測模型，甚至融合不同類型的觀測信息，以獲得高精度的狀態估計值.有關可觀測性的研究，能夠為系統狀態估計選擇更合適的觀測模型提供理論依據.

4 結論

從仿真結果可以看出，文中提出的可觀測性分析方法能夠直觀地反映出不同圓錐軌跡下深空自主導航系統可觀測性能的變化，相關結果和分析方法可為導航系統觀測模型的選取提供參考.

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