關于誤用動能定理的討論

胡生青 于路軍

(江陰市青陽中學 江蘇江陰 214401)

動能定理是中學物理課程中的重要規律之一,也是高考的熱點內容,它將狀態量的變化與過程量聯系起來.應用動能定理解題時,只需考慮始末運動狀態,無需關注運動過程中的細節變化,顯得簡捷與方便,因此深受老師和同學的歡迎.應用物理規律解決問題時,若對物理概念的本質認識上存在問題,將造成誤用物理規律.筆者在高三復習教學中,發現學生在應用動能定理時易犯兩個錯誤:一是研究對象為質點系時,將研究對象當成質點模型仍使用質點動能定理;二是在某一方向上運用動能定理.本文擬就此二問題作詳盡探討.

1 質點系問題

1.1 非質點模型

平時教學中我們常接觸到物體間通過繩或桿相連的質點系;高考試題中也出現過討論人在運動時有關能量轉化問題[1].此類研究對象在問題中為非質點模型,高中所學的動能定理能適用嗎?

【例1】(2006年全國高考卷)一位質量為m的運動員從下蹲狀態向上起跳,經 Δt時間,身體伸直并剛好離開地面,速度為v0.在此過程中

B.地面對他的沖量為mv+mgΔt,地面對他做的功為為零

D.地面對他的沖量為mv-mgΔt,地面對他做的功為零

【析與解】以人為研究對象根據動量定理得

解得

在討論地面對人做功問題時,不少同學將人當作質點模型,根據質點動能定理,誤認為地面對人做了功為.而事實上,人在起跳的過程中地面對人作用力的作用點沒發生位移,地面對人做功為零,故答案選B.

人起跳過程就像一個被壓縮的彈簧在彈起的過程中釋放了彈性勢能,彈力做了多少功就有多少彈性勢能轉化為動能.其實人是自己做了功,通過功能關系知道人做功是能量轉化的過程,它是把人體內的化學能轉化為人體的動能.在本題中不能把人看成一個質點,應將人構建成質點系模型;由質點系動能定理可知,人獲得的動能是人體內力做功的結果.

1.2 質點系動能定理

在由多個質點組成的系統中,對每一質點運用動能定理,求和后得到

其中 A是組成系統的各質點所受所有外力功和內力功的代數和,即上式可寫成

就是所有外力功和所有內力功的代數和等于其動能增量.即質點系動能的變化等于系統所受的外力做功與內力做功之和.這就是質點系動能定理.應注意,內力做功并不一定為零,只有當運動時兩質點間距離保持不變(輕繩或輕桿類連接體),內力做功才為零,一般情況內力做功不為零.內力做功與所選擇的參照系無關,因為內力總是成對出現的,對作用力和反作用力(內力)所做功的代數和取決于相對位移,而相對位移與選擇的參照系無關.

【例2】輕繩一端掛一質量為M的物體,另一端系在質量為m的圓環上,圓環套在豎直固定的細桿上,定滑輪與細桿相距0.3m,如圖1所示.將環拉至與定滑輪在同一水平高度上,再將環由靜止釋放,圓環沿桿向下滑動的最大位移為0.4m.若不計一切摩擦阻力(g取10m/s2),求:

(1)物體與圓環的質量之比;

(2)圓環下落0.3m時的速度大小.

圖1

(2)環下落0.3 m時,物體上升的位移

物體的速度為

繩的拉力對環和物體做功的代數和為零.由質點組動能定理有

用質點系動能定理求解連接體問題時,選取質點組,找各力作用的位移大小關系,各質點在同一時刻的速度大小的關系,看質點組各外力的功和各內力的功的代數和,確定各個質點的初動能和末動能,然后建立方程求解.

中學物理教材中的動能定理只適用于單個質點,對動能定理應用于多個質點的系統沒有介紹.而在教學中常常出現多個質點連接在一起的情況,如果對每個質點列動能定理方程,這樣求解問題相當復雜.若在復習動能定理的基礎上介紹質點系動能定理,既符合學生的認知規律,也符合學生身心發展特點,學生很容易接受.所以筆者認為有必要在此介紹質點系動能定理.把動能定理的適用范圍推廣到系統,用質點系動能定理來解決研究對象為非質點模型問題.

2 動能定理有分量表達式嗎

【例3】如圖2所示,一個帶正電小球,電荷為q,質量為m,從O點以速度v豎直向上射入勻強電場中,場強為E,小球到達運動軌跡的最高點為P.求:

(1)OP的水平距離;

(2)小球在P點的動能.

圖2

【析與解】小球在運動過程中受豎直向下的重力和水平向右的電場力作用,故可將運動分解為水平方向初速度為零的勻加速直線運動和豎直方向的勻減速度直線運動.

(1)當小球運動到最高點P時,它在豎直方向上速度為零,所以有0=v-gt.在 t時間內小球運動的水平距離x,聯立上述方程

動能定理是標量式,不存在某一方向上的動能,也不存在某個方向上的力做功,部分同學錯誤地列出某一方向上的動能定理方程,是對物理概念本質的認識上存在問題.

筆者認為以上兩點對動能定理的誤用,有學生學習不到位的因素,也有我們教學的原因.在平時習題中涉及到研究對象基本上是質點模型,很少遇到研究對象為質點系模型.若在教學中教師呈現的物理情景中出現非質點模型,有意識地對學生進行針對性訓練,相信誤用的概率就要小得多.另外,講動能定理理論時,若能對公式的矢量性讓學生進行討論,也會降低誤用.

上面的求解是將復雜的曲線運動分解為簡單的直線運動來處理的.但在求解第(2)小問時,有部分同學在水平方向上運用動能定理來求解,Ek-0=

1 胡生青.對人體內力做功的討論.物理通報,2008(11)