非均勻水平應(yīng)力場(chǎng)中井壁結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)研究

牛少卿，楊雙鎖，王志剛，寇永嘉

(太原理工大學(xué)礦業(yè)工程學(xué)院，山西太原030024)

1 引言

立井是礦山生產(chǎn)運(yùn)輸?shù)难屎硪?立井的施工是礦山建設(shè)十分重要的一環(huán),作為立井永久支護(hù)的井壁結(jié)構(gòu)——井筒,其穩(wěn)定性狀況直接影響到礦山的安全生產(chǎn),因而井筒的受力和變形情況是值得關(guān)注的[1-3]．

由于地質(zhì)構(gòu)造、巖體自身的特性以及施工等方面的原因,井筒所處的水平應(yīng)力場(chǎng)并非均勻分布．傳統(tǒng)井壁是一種等厚度圓筒結(jié)構(gòu)物,根據(jù)彈性理論可知,在均勻應(yīng)力場(chǎng)中井壁上所受的應(yīng)力和產(chǎn)生的變形呈均勻分布;而在非均勻應(yīng)力場(chǎng)中,井筒所受的應(yīng)力和產(chǎn)生的變形呈現(xiàn)不均勻分布狀態(tài)，這種不均勻性對(duì)等厚度井壁結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性是不利的,因此尋找非均勻水平應(yīng)力場(chǎng)中井壁的合理結(jié)構(gòu)具有積極的意義．

隨著計(jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù)的提高，以有限元分析技術(shù)為基礎(chǔ)的形狀優(yōu)化技術(shù)得到了發(fā)展[4]．它主要研究如何確定連續(xù)體結(jié)構(gòu)的邊界形狀或者內(nèi)部幾何形狀，以改善結(jié)構(gòu)的特性，其中更多的是降低應(yīng)力集中、改善應(yīng)力的分布狀況、提高穩(wěn)定性、延長(zhǎng)結(jié)構(gòu)壽命[5-6]．它通過(guò)改變區(qū)域的幾何形狀來(lái)達(dá)到某種意義上的最優(yōu)．因此利用常規(guī)設(shè)計(jì)手段完成井壁結(jié)構(gòu)的整體尺寸設(shè)計(jì)后，再利用形狀優(yōu)化技術(shù)對(duì)井壁的局部邊界形狀進(jìn)行優(yōu)化，使得井壁的結(jié)構(gòu)在主體結(jié)構(gòu)上滿足設(shè)計(jì)準(zhǔn)則的要求，在局部區(qū)城又改善了應(yīng)力分布．同時(shí)通過(guò)形狀優(yōu)化不僅可以降低應(yīng)力集中，更重要的是提高了井壁材料的利用率,使載荷能夠均勻分布在井壁結(jié)構(gòu)上．

形狀優(yōu)化是建立在結(jié)構(gòu)應(yīng)力分析技術(shù)上的，在結(jié)構(gòu)應(yīng)力分析過(guò)程中,成熟的分析方法是:有限單元法．由于其目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計(jì)變量之間大多為隱式函數(shù)關(guān)系，因此對(duì)目標(biāo)函數(shù)的求導(dǎo)計(jì)算即敏感性分析是形狀優(yōu)化過(guò)程中的一個(gè)難點(diǎn).另一難點(diǎn)是目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計(jì)變量之間是一種非線性關(guān)系，有時(shí)其非線性程度還很高．要將形狀優(yōu)化技術(shù)應(yīng)用于工程的常規(guī)設(shè)計(jì)過(guò)程中，就必須要解決這兩個(gè)問(wèn)題．所幸的是，隨著計(jì)算機(jī)分析技術(shù)和應(yīng)用技術(shù)的發(fā)展，人們對(duì)形狀優(yōu)化問(wèn)題開(kāi)展了大量的研究，這兩個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題都得到了部分解決．現(xiàn)在許多商業(yè)有限元軟件都能完成部分形狀優(yōu)化的分析計(jì)算，因此將形狀優(yōu)化應(yīng)用于常規(guī)設(shè)計(jì)中已成為未來(lái)礦井設(shè)計(jì)的發(fā)展趨勢(shì)．

本文提出了一種新型的井筒結(jié)構(gòu)模型，利用有限元軟件的優(yōu)化設(shè)計(jì)模塊對(duì)其進(jìn)行形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)，得出了井壁結(jié)構(gòu)的合理參數(shù)．

2 計(jì)算模型

摩爾-庫(kù)侖準(zhǔn)則體現(xiàn)了巖土材料壓剪破壞的實(shí)質(zhì)，所以獲得了廣泛的應(yīng)用．但這類準(zhǔn)則沒(méi)有反映中間主應(yīng)力的影響，不能解釋巖土材料在靜水壓力下也能屈服或破壞的現(xiàn)象．德魯克-普拉格準(zhǔn)則是在摩爾—庫(kù)侖準(zhǔn)則和塑性力學(xué)中著名的米賽斯準(zhǔn)則基礎(chǔ)上的發(fā)展和改進(jìn)[7-10]．本文對(duì)巖石材料采用德魯克—普拉格彈塑性結(jié)構(gòu)模型模擬：

其中 I1=σ1+σ2+σ3=σx+σy+σz′，為應(yīng)力張量第一不變量；

為偏應(yīng)力張量第二不變量；

此處a和K均為常數(shù)，c和φ分別為材料的黏結(jié)力和摩擦角．

德魯克—普拉格準(zhǔn)則計(jì)入了中間主應(yīng)力的影響，即考慮了靜水壓力的作用，克服了摩爾-庫(kù)侖準(zhǔn)則的主要弱點(diǎn)．已在國(guó)內(nèi)外巖土力學(xué)與工程的數(shù)值計(jì)算分析中獲得廣泛的應(yīng)用．

本文運(yùn)用數(shù)值模擬分析技術(shù)，對(duì)不均勻側(cè)壓力下井筒結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，采用德魯克—普拉格彈塑性模型進(jìn)行計(jì)算．計(jì)算模型長(zhǎng)40 m，寬40 m，井筒半徑4.1 m，模型側(cè)邊界距井筒中心約為井筒半徑的10倍．模型邊界條件為：左邊界水平方向0位移約束，下邊界垂直方向0位移約束，模型上邊界分別施加10、11、12、13、14、15 MPa的均布?jí)毫Γ疫吔缡┘?0 MPa的均布?jí)毫Γ畠?yōu)化過(guò)程中，井壁內(nèi)壁為圓形，外壁為橢圓形，上部井壁厚度保持0.6 m，右邊井壁厚度從0.6 m開(kāi)始增大．優(yōu)化分析整體模型見(jiàn)圖1;計(jì)算參數(shù)見(jiàn)表1．

計(jì)算中井筒斷面外壁長(zhǎng)軸c與短軸b之比A為設(shè)計(jì)變量．合理優(yōu)化中，內(nèi)壁最大環(huán)向應(yīng)力和最小環(huán)向應(yīng)力差與最小環(huán)向應(yīng)力之比為狀態(tài)變量，狀態(tài)變量小于(q1-q2)/q2，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)度c為目標(biāo)函數(shù)；均勻優(yōu)化中，模型中井壁內(nèi)壁環(huán)向應(yīng)力的方差NSY_DY為目標(biāo)函數(shù)．A的取值范圍為1～5．

圖1 優(yōu)化分析整體模型圖

其中 q1分別為 10、11、12、13、14、15 MPa,q2為 10 MPa．

表1 模型材料力學(xué)參數(shù)

3 計(jì)算結(jié)果

經(jīng)過(guò)有限元軟件優(yōu)化模塊的優(yōu)化，可以得到不同側(cè)壓條件下井壁設(shè)計(jì)變量與目標(biāo)函數(shù)的關(guān)系以及不同側(cè)壓條件下不同優(yōu)化設(shè)計(jì)變量A值相關(guān)的井壁參數(shù)．以上述變量A來(lái)進(jìn)行優(yōu)化的結(jié)果見(jiàn)下列圖表所示．

圖2為不同側(cè)壓條件下目標(biāo)函數(shù)NSY_DY與設(shè)計(jì)變量A的關(guān)系曲線．從圖中可以看出，A在1～5之間，目標(biāo)函數(shù)NSY_DY存在唯一的極小值點(diǎn)，這個(gè)極小值點(diǎn)也就是內(nèi)壁環(huán)向應(yīng)力分布最均勻的點(diǎn)．不同側(cè)壓條件下目標(biāo)函數(shù)的最小值的A點(diǎn)是不同的，隨著最大側(cè)壓力的增大，目標(biāo)函數(shù)最小值的A點(diǎn)在不斷增大，這表明，隨著側(cè)壓力的增大，井壁外壁橢圓長(zhǎng)軸與短軸之比越來(lái)越大，即最大壁厚在不斷增大．從圖中可知，目標(biāo)函數(shù)在達(dá)到最小值前，變化速度很小，這就要求合理優(yōu)化，使得應(yīng)力分布比較均勻，滿足井筒穩(wěn)定性要求，且所用材料最少．在合理優(yōu)化中，選取目標(biāo)函數(shù)為井壁外壁橢圓長(zhǎng)軸，目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計(jì)變量為線性關(guān)系，內(nèi)壁最大環(huán)向應(yīng)力和最小環(huán)向應(yīng)力差與最小環(huán)向應(yīng)力之比為狀態(tài)變量，狀態(tài)變量小于 (q1-q2)/q2，從而使應(yīng)力沿井壁內(nèi)壁分布比較均勻，且節(jié)省材料．

圖2 不同側(cè)壓條件下目標(biāo)函數(shù)NSY_DY與設(shè)計(jì)變量A的關(guān)系曲線

圖3 最大側(cè)壓力為15MPa時(shí)優(yōu)化后的井筒內(nèi)壁環(huán)向應(yīng)力與等厚井筒內(nèi)壁環(huán)向應(yīng)力對(duì)比圖

圖3為最大側(cè)壓力為15 MPa時(shí)，優(yōu)化后的井筒內(nèi)壁環(huán)向應(yīng)力與等厚井筒內(nèi)壁環(huán)向應(yīng)力對(duì)比圖.S為弧AB．從圖中可以清楚地看出，在不均勻側(cè)壓力下，井筒經(jīng)過(guò)優(yōu)化后，內(nèi)壁環(huán)向應(yīng)力分布都得到了明顯改善，沿井筒內(nèi)壁分布比原來(lái)均勻了很多，最大環(huán)向應(yīng)力和平均環(huán)向應(yīng)力也得到了較大的減小，這對(duì)井筒的穩(wěn)定性非常有益．

圖4 合理優(yōu)化設(shè)計(jì)變量A隨最大側(cè)壓力變化曲線

圖5 均勻優(yōu)化設(shè)計(jì)變量A值隨最大側(cè)壓力變化曲線

圖6 合理優(yōu)化設(shè)計(jì)變量A值隨最大側(cè)壓力變化曲線擬合圖

表2 優(yōu)化后的井筒參數(shù)

表3 擬合公式所產(chǎn)生A值與合理優(yōu)化A值對(duì)比列表

表2給出了優(yōu)化后設(shè)計(jì)變量A、井壁橢圓長(zhǎng)軸、最大壁厚和最大最小壁厚比．圖4給出了合理優(yōu)化設(shè)計(jì)變量A隨最大側(cè)壓力變化曲線，圖5給出了均勻優(yōu)化設(shè)計(jì)變量A隨最大側(cè)壓力變化曲線．從表2、圖4、5中可看出，隨著最大側(cè)壓力q1的增大，A的值越來(lái)越大，橢圓長(zhǎng)軸越來(lái)越長(zhǎng)，井壁壁厚處的厚度越來(lái)越大，最大、最小壁厚比也越來(lái)越大．

對(duì)合理優(yōu)化設(shè)計(jì)變量A隨最大側(cè)壓力變化曲線進(jìn)行擬合后得到圖6，擬合公式為A=Ke-x/t+C，其中K為 1.80297e-4，t為-1.9709，C為0.97397．表3給出了擬合公式所產(chǎn)生A值與合理優(yōu)化A值對(duì)比列表．

4 結(jié)論

通過(guò)對(duì)不同側(cè)壓力下井筒井壁合理結(jié)構(gòu)的優(yōu)化分析得出如下結(jié)論：

1)非均勻水平應(yīng)力場(chǎng)中，等厚度的圓形井筒內(nèi)壁應(yīng)力分布并非均勻，不利于井筒穩(wěn)定性的保持．

2)不同側(cè)壓條件下，采用外壁為橢圓內(nèi)壁為圓的井壁結(jié)構(gòu)能取得較好的效果．

3)在外壁從圓形向橢圓形過(guò)渡中存在一個(gè)最優(yōu)處，偏離最優(yōu)處兩端越遠(yuǎn)應(yīng)力分布越不均勻，這個(gè)最優(yōu)狀態(tài)就是井壁應(yīng)力分布狀態(tài)最均勻的狀態(tài)．

4)在井壁應(yīng)力分布最均勻的狀態(tài)下，井壁的變形、應(yīng)力分布合理，對(duì)保障井筒的穩(wěn)定性起到了重要作用．

5)在水平雙向原巖應(yīng)力分別為10 MPa和10～15 MPa的細(xì)砂巖中以C35混凝土井壁結(jié)構(gòu)為例得出：合理優(yōu)化設(shè)計(jì)變量A和最大側(cè)向壓力的關(guān)系式為：A=Ke-x/t+C．

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