圓形壩下涵管結構內力與變位計算及抗裂驗算解析法

蔡勇斌，劉女英，蔡勇平，蔡曉鴻

（1.江西省吉安市水利局，江西吉安343000；2.江西省吉安市水利水電規劃設計院，江西吉安343000）

0 引言

壩下涵管是中小型水庫工程常用輸水建筑物，其結構設計首先應進行承載能力極限狀態計算。此外，壩下涵管不允許出現裂縫，以免危害大壩安全，需滿足抗裂要求[1]。

有必要指出，目前壩下涵管按獨立構件進行分析計算，計算理論與模型均欠合理，拙文給出的壩下涵管結構內力與變位計算及抗裂驗算解析法彌補了上述缺陷，具有實際應用意義。顯然，所獲成果可順利應用于圓形隧道結構內力與變位計算。

1 彈性地基圓弧曲梁控制微分方程

壩下涵管承受豎向荷載qv、水平側向荷載qH(θ)（qH1、qH2分別為涵管頂、底水平側向荷載）、自重G和外水壓力p0(θ)等主動荷載與土體彈性抗力被動荷載的作用（圖1）。其最不利計算工況是涵管內無水檢修期荷載組合。

壩下涵管弧段，可視作彈性地基圓弧曲梁。涵管結構、荷載關于CD直線對稱。設圓心為坐標原點，管壁厚h=r1-r0；斷面中心半徑為ri=0.5(r0+r1)，H為頂部水頭，γω為水的重度，混凝土重度為γc、彈性模量為Ec，斷面面積為F，慣性矩為I0。截取微分單元ridθ，其中徑向位移為W(θ)，切向位移為V(θ)，K為涵管周邊土體抗力系數，涵管與土體間的剪應力為τ，斷面的彎矩為M(θ)，剪力為Q(θ)，軸力為N(θ)，曲梁截面角位移為?(θ)（圖2）[2]。上述各力與夾角θ均以圖示方向為正。

圖1 圓形壩下涵管計算簡圖Fig.1 Schematic drawing for circular embedded pipe in calculation

圖2 微分單元受力示意圖Fig.2 Schematic drawing of forces in differentiation element

列出微段的靜力平衡方程，略去二階微量后有[2]

對式（6）從0到θ積分，并注意到

整理得

又由結構力學知，徑向位移與截面內力間有關系式

據式（4）～（9），可導出徑向位移W(θ)應滿足的控制微分方程

2 彈性地基圓弧曲梁內力與變位計算

微分方程式（10）的解由特解W0(θ)與基本解W1(θ)組成[3]，即

其特解為

其基本解W1(θ)為

據式（11）、（12）、（13）可得彈性地基曲梁截面角位移

當壩下涵管未出現裂縫時，據對稱性W(π)=W(-π)，可得c1=c3，c2=-c4，τ=0；又由，得c1=0，c2=0。于是式（11）可改寫成

相應彈性地基曲梁內力與角位移?(θ)表達式為

忽略軸向力產生的切向應變εθ，有切向位移[4]

將式（15）代入上式積分，并利用V(θ)|θ=0=0確定微積分常數C，可得

3 壩下涵管結構內力與變位解析計算式及抗裂驗算

將式（22）代入式（15）～（19）、式（21），可得圓形壩下涵管內力與變位解析計算式

壩下涵管在外壓荷載作用下，內緣、外緣的切向應力σθ計算式為[2]

將式（16）、（17）代入上式，整理得

將求解式（31）、（32）所得θ值代入式（30），即可得到壩下涵管切向應力極大值，將其與混凝土軸心抗拉強度ftk進行比較，便可判定壩下涵管是否滿足抗裂要求。

4 工程算例

鋼筋混凝土圓管結構，r0=1.25 m，r1=1.45 m，Ec=2.535×107kPa，rc=24.53 kN/m3，γω=9.81 kN/m3，qv=333.43 kN/m，H=10 m，k=1.96×104kN/m3。于是有ri=1.35 m，η1=1.074074074，η0=0.925925925，F=0.2 m2，I=6.666666667×10-4m4，m2=5.1451,α=0.7963,β=1.2783。

計算bM、cM、dM、gM、fM值，據式（26）～（28）可得圓管內力計算式，將所計算點位的角度值代入，可得圓管各點內力值如表1所示。

表1 圓管結構內力計算結果表Table 1:Calculation result of the structure inner force of the cir?cular embedded pipe

利用式（23）～（25）可計算出圓管各點變位值；利用式（30）計算參數B、C、D、E值，代入式（31）、（32），可求算出圓管切向應力極大值相應點位的角度值；再將所得極值點的角度θ值代入式（30），即可得出切向應力極大值σθmax，進而將其與混凝土軸心抗拉強度ftk相比較，便可判別圓管是否出現裂縫，具體計算不予贅述。

5 結語

圓形壩下涵管與圓形隧道目前多采用數值計算方法對其進行內力近似分析。本文采用壩下涵管（隧道）結構與巖土體聯合工作模型[5，6]，通過建立彈性圓弧曲梁控制微分方程，給出了圓形壩下涵管（隧道）結構內力、變位及抗裂驗算計算方法與相應解析計算式，揭示了相關物理力學參數對結構內力、變位的影響，且可用于數值計算方法精度的定量評估。■

[1]SL191-2008，水工混凝土結構設計規范[S].北京：中國水利水電出版社，2009：9～14.

[2]蔡曉鴻，蔡勇平.水工壓力隧洞結構應力計算[M].北京：中國水利水電出版社，2004：224～232.

[3]盧存恕.建筑結構中的應用數學[M].北京：中國建筑工業出版社，1987：45～51.

[4]王維英.用伽遼金權殘法分析圓形隧道[J].水利學報，1990，（1）：49～54.

[5]蔡勇斌,蔡勇平,吳韶華.壩下埋管環向裂縫與軸向抗裂驗算[J].大壩與安全,2008,(4):1～3.

[6]張志堅,項和祖.石門水庫輸水管的加固設計[J].大壩與安全,2005,(1):73～75.