矩陣方程組AX=B，CXD=E的廣義自反解及其最佳逼近

鄧符花，尤傳華

(蘭州大學 數學與統計學院，甘肅 蘭州 730000)

0 引言

矩陣方程在科學研究與工程技術中有著廣泛的應用，因此矩陣方程的求解具有重要的理論意義與實用價值。多年以來許多學者一直致力于線性矩陣方程的研究，并取得了豐碩的成果，熊與Peng在文獻［1］與［2］中通過廣義奇異值分解得到矩陣方程AHXA=B和AHXB=C的自反解，文獻［3］分別討論了矩陣方程AXB=C的對稱反自反解及其最佳逼近的迭代解法，中心對稱解及其最佳逼近問題，正定解通過迭代法得到方程組AYB=E，CYD=F的廣義中心對稱解，Li利用廣義自反矩陣的性質和廣義逆得到了方程組AX=B，XC=D的廣義自反解，Yuan通過廣義奇異值分解得出方程AXB=D有廣義自反解的棄要條件及一般解的表達式，Qiu通過矩陣分解和廣義逆得到在約束條件PX=sXP下方程組AX=B，XC=D的解。然而關于矩陣方程AX=B，CXD=E的廣義自反解目前尚沒有研究。本文中我們將通過矩陣分解來研究這一問題。

在本文中我們用Cm×n表示所有m×n復矩陣集合，Cm表示所有m維向量集合，n表示所有m×n酉矩陣集合，In表示n階單位陣，AH表示A的共扼轉置，對于，我們定義內積，則由此內積導出的范數是矩陣A的Frobenius范數，且Cm×n構成一個完備內積空間。

若J∈Cn×n，且JH=J，J2=In，則稱J為廣義反射矩陣。記全體n階廣義反射矩陣的集合為SHCn×n。

1 問題Ⅰ的解

同理，S有如下分解:

引理1 G是廣義自反矩陣的充要條件是

則問題Ⅰ有廣泛自反解的充要條件是

解的表達式為

所以方程組AX=B，CXD=E有廣義自反解當且僅當

對 A1，A2奇異值分解如(1)、(2)，則(9)式等價于

得其有解的充要條件為:B12=0，B22=0。

且解的表達式為:

其成立的充要條件為

這樣，問題Ⅰ的充要條件(7)和解的表達式(8)即可得到。

2 問題Ⅱ的解

顯然，若(7)滿足，SX非空。易證SX為閉凸集。由最佳逼近定理知，對任意給定矩陣，總存在唯一的，使得

［1］熊慧軍，彭向陽.矩陣方程的自反解及其最佳逼近［J］.長沙大學學報，2004，62:16－20.

［2］彭振赟.線性矩陣方程AXB=C的中心對稱解及其最佳逼近［J］.工程數學學報，2003，20(6):60－64.

［3］X.Y.Peng，X.Y.Hu and L.Zhang，The reflexive and anti-reflexive solutions of matrix eqution AHXB=C［J］.Computational and Applied Mathematics，2007，200:749 －760.

［4］M.Dehghan，M.Hajarian，An iterative algorithm for solving a pair of matrix equations AYB=E，CYD=F over generalized centro-symmetric matrices［J］.Computation and Mathematics with Applications，2008(7):31.

［5］Y.X.Yuan，H.Dai，Generalized reflexive solutions of the matrix equation AXB=D and an as-sociated optimal approximation problem［J］.Computation and Mathematics with Applications，2008(3):15.

［6］劉玉，等.準次強酉矩陣及其性質［J］.吉林師范大學學報:自然科學版，2009，30(2):1－3.