Alexander與HOMFLY多項式在紐結中的應用

邱海燕，陳震霆

(空軍航空大學 數學教研室，吉林 長春 130022)

0 引言

紐結［1］(knot)是三維中的簡單閉曲線，即連通的(連成一體)、封閉的(沒有端點的)、不自交的(自己與自己不相交，即沒有粘連的)曲線。鏈環［2］可以在空間中自由地連續變形，但是不允許剪斷，不許粘合，而變成另一個鏈環，則這兩個鏈環是合痕的(isotopy)。

紐結理論中我們關心的問題是任意的兩個紐結或鏈環怎樣識別他們是否相同，怎樣判斷它們是否是非平凡的。又因為對于同一個紐結或鏈環的所有投影圖都是合痕的，因此紐結理論的基本問題就成為:任給兩個紐結或鏈環的投影圖，它們是否是合痕的，怎樣判斷它們是否等價于平凡紐結或鏈環的投影圖。我們可以利用合痕不變量來區分。文章主要介紹兩種合痕不變量——Alexander［3］多項式和HOMFLY［4］多項式的聯系。

1 Alexander多項式與HOMFLY多項式在分離鏈環上的應用

定理1:若L是有向分離鏈環，設可分離為兩個鏈環L1，L2，則

(1)Δ(L)=0，

(2)P(L)=P(L1∪L2)= － (l+l－1)m－1P(L1)P(L2)。

則 Δ(L+) －Δ(L－)+(t1/2－t－1/2)Δ(L0)=0。

又 Δ(L+)=Δ(L－)，故 Δ(L)=0。

(2)對L2的交叉指標C(L2)用數學歸納法。

①當C(L2)=0時，即L2為○，則P(L2)=1。

我們知:P(L1∪L2)= － (l+l－1)m－1P(L1)= － (l+l－1)m－1P(L1)P(L2)。

②假設C(L2)＜n時，命題成立。

由于HOMFLY多項式是合痕不變量，同一個鏈環對其任意投影圖計算得到的HOMFLY多項式都相同，故鏈環L2取其交叉點最少的投影圖沒有影響。

當C(L2)=n時，設L2的投影圖有n個交叉點，則選取某一個交叉點后構造L+，L－，L0(如圖1)，并且 L+即為 L1∪L2。

圖1 鏈環示意圖

2 Alexander多項式與HOMFLY多項式之間的聯系

Alexander多項式是最早被發現的多項式，它只有一個變量t，而HOMFLY多項式中包含兩個變量l和m，它們都是有向鏈環的多項式。下面的定理給出了兩者之間的聯系。

定理2 將鏈環L的HOMFLY多項式P(L)中的每個l用i取代，每個m用i(t1/2－t－1/2)取代，則得到該鏈環的Alexander多項式Δ(L)。

證明:由于HOMFLY多項式與Alexander多項式有類似的法則，只是系數不同，若對法則成立，則得證。

將 l=i，m=i(t1/2－t－1/2)代入得

故將鏈環L的HOMFLY多項式P(L)中的每個l用i取代，每個m用i(t1/2－t－1/2)取代，則得到該鏈環的Alexander多項Δ(L)。證畢。

HOMFLY多項式是二元多項式不變量，包含Alexander多項式為特殊情況，鑒別力比它更強，更具有普遍性。

3 結語

現在若要計算某個鏈環的HOMFLY多項式，已經有人編寫了一個計算機程序，若利用本文的思想可以進一步簡化計算過程，提高運算速度。為了更好地研究紐結提供了有力的幫助。

［1］姜伯駒.繩圈的數學［M］.長沙:湖南教育出版社，1991.

［2］Rolfsen.Knots and links［M］.Berkeley:Pubilish or Perish Press，1976.

［3］Alexander.Topological invariants of knots and links［J］.Trans.Amer.Math.Soc.，1982，30:275 － 306.

［4］Kauffman.New invariants in the theory of knots［J］.Amer.Math.Monthly，1988，95(3):95 －142.

［5］韓友發，胡曉躍，常樂.紐結多項式的性質［J］.吉林師范大學學報:自然科學版，2008，29(2):1－4.