2010年數學高考應用題評析

● (德清縣第一中學 浙江德清 313200)

在2010年全國各地的數學高考試卷中，應用題依然占據重要一席.數學應用題的解答是分析問題和解決問題能力的高層次表現，能反映出考生的創新意識和實踐能力.因此從1993年開始，數學高考就逐步開始加強了數學應用和實踐能力的考查.近幾年來，隨著新課程改革的不斷推進，應用題逐漸成為高考考查的一個重點.

1 應用型問題在高考中的地位

2010年全國各地高考試卷中有關應用題的命題按照“考查基礎知識的同時，注重考查能力”的原則，將知識、能力和素質融為一體，全面檢測了考生的數學素養，體現了高考對數學應用和實踐能力的考查要求：能綜合應用所學數學知識、思想和方法解決問題，包括解決在相關學科、生產、生活中的數學問題；能閱讀、理解對問題進行陳述的材料；能夠對所提供的信息資料進行歸納、整理和分類，將實際問題抽象為數學問題，建立數學模型；應用相關的數學方法解決問題并加以驗證，并能用數學語言正確地表述、說明.

2 命題特點和知識類型

具體地講，2010年全國各地數學高考試卷中的應用題可謂是精彩紛呈.首先表現在問題情境的豐富多彩，既有傳統的“摸球問題”、“種子發芽率”、“海上航行”、“電視塔高度測量”、“撲克牌的抽取”、“工廠的生產計劃與利潤”等問題，也有新穎的“品酒師的酒味鑒別功能”、“營養師為兒童定制午餐與晚餐”問題，以及社會關注的“城市缺水”問題、“志愿者為老人提供幫助”問題，還出現了具有時代特征的“上海世博會入園人數”、“志愿者赴世博會場館”、“迎接2010廣州亞運會”等問題，體現了應用題背景的多樣性.但從解決應用題的第一關“閱讀理解”來講，所有問題都很樸實，貼近生活，易于學生理解，顯然未從背景角度設置障礙.從應用題考查的具體內容來看，出現頻率較高的仍然是近幾年的熱點“概率”問題，尤其是大題，譬如浙江、安徽、江蘇、江西、山東、四川等省的理科卷和部分文科卷，都重點考查了隨機變量的分布列與數學期望等有關概率計算的問題；在湖南、遼寧、廣東等卷的大題中，出現了“統計”或“概率與統計”型的應用題，起到了有效降低難度的作用；另有“線性規劃”、“解三角形”、“函數求最值”等出現在大題中，小題中出現較多的是“排列組合與計數原理”、“古典概型”、“程序框圖”、“函數應用”、“抽樣方法”、“統計圖表”等應用型題目.總體來講，全國各地試卷中的應用題雖然形式新穎、內容廣泛，但都立意明確，難度不大.

3 亮點掃描

3.1 關注生活，學以致用

例1某地有居民100 000戶，其中普通家庭99 000戶,高收入家庭1 000戶．從普通家庭中以簡單隨機抽樣方式抽取990戶，從高收入家庭中以簡單隨機抽樣方式抽取100戶進行調查，發現共有120戶家庭擁有3套或3套以上住房，其中普通家庭50戶，高收人家庭70戶．依據這些數據并結合所掌握的統計知識，你認為該地擁有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估計是________.

(2010年安徽省數學高考文科試題)

分析本題為分層抽樣問題.首先分別根據普通家庭和高收入家庭中擁有3套或3套以上住房的家庭所占的比例，得出100 000戶居民中擁有3套或3套以上住房的戶數，它除以100 000得到的值即為該地擁有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估計.

本題設置的情境具有時代氣息，是當前社會關注的焦點問題，背景清晰、立意新穎、設問巧妙、獨具匠心.主要運用了統計中的分層抽樣、用樣本估計總體的知識，強調了數學學習要關注“知識的運用”.本題以小題的形式出現，減輕了學生應用題的壓力，很好地把握了應用題的度.

3.2 回歸課本，體現課標

例2一位國王的鑄幣大臣在每箱100枚的硬幣中各摻入了一枚劣幣，國王懷疑大臣作弊，他用2種方法來檢測.方法1：在10個箱子中各任意抽查1枚；方法2：在5個箱子中各任意抽查2枚.國王用方法1和方法2能發現至少1枚劣幣的概率分別為p1和p2，則

( )

A.p1=p2B.p1p2

D.以上3種情況都有可能

(2010年江西省數學高考理科試題)

分析本題考查的是不放回的抽球問題，重點考查二項分布的概率.本題是北師大版新課標的課堂作業，作為舊大綱的最后一年高考，給出了一個強烈的導向信號.2010年全國各地考卷中的很多應用題的背景都與課本例題相似，可以說是課本例題的變式題.

3.3 綜合考查，出現壓軸

例3品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試，一種通常采用的測試方法如下：拿出n瓶外觀相同但品質不同的酒讓其品嘗，要求其按品質優劣為它們排序；經過一段時間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這n瓶酒，并重新按品質優劣為它們排序，這稱為一輪測試.根據一輪測試中的2次排序的偏離程度的高低為其評分.

現設n=4，分別以a1,a2,a3,a4表示第1次排序時被排為1,2,3,4的4種酒在第2次排序時的序號，并令

X=|1-a1|+|2-a2|+|3-a3|+|4-a4|，

則X是對2次排序的偏離程度的一種描述.

(1)寫出X的可能值集合.

(2)假設a1,a2,a3,a4等可能地為1,2,3,4的各種排列，求X的分布列.

(3)某品酒師在相繼進行的3輪測試中，都有X≤2.

①試按第(2)小題中的結果，計算出現這種現象的概率(假定各輪測試相互獨立)；

②你認為該品酒師的酒味鑒別功能如何？說明理由.

(2010年安徽省數學高考理科試題)

分析作為“壓軸題”，本題考查的知識點較多，涉及到排列組合、離散型隨機變量的概率分布、互斥事件與相互獨立事件的概率公式、小概率事件發生的含義等.從數學思想與方法而言，重點考查了概率思想在現實生活中的應用，考查了考生的抽象概括能力、應用與創新意識.解答本題的難點，首先是在復雜場合下進行計數的能力.在解答第(1)小題時，若根據對4個數字奇、偶性的分析概括出X的可能值，則需要高度的抽象概括能力，多數考生不會采用這樣的方法；若采用列舉法將24種排列全部列出，則需要時間和耐心，稍有不慎，失誤在所難免.第(3)小題“你認為該品酒師的酒味鑒別功能如何？說明理由”屬于開放式的設問方式，有利于考查考生的發散性思維.考生需要首先發現結論，然后再去論證結論.這樣的處理增加了問題的難度，增加了本題作為壓軸題的份量.

4 復習建議

4.1 重視基礎，回歸教材

從2010年全國各地數學高考試題中的應用題來看，常規題型依然是考查的主流，考查的幾乎都是現行高中數學教材中最基本、最重要的數學知識和數學思想方法.因此高三復習應改變以往片面追求“新、奇、怪”的極端做法，回歸教材，狠抓基礎，靈活運用知識處理問題.教材是高考試題的重要知識載體，是學習數學基礎知識、形成基本技能的“藍本”.因為在復習過程中，以課本為“藍本”對題目舉一反三地加以類比、延伸和拓展，在“變式”上下功夫，力求做到“以不變應萬變”.

4.2 建立模型，突破三關

解決應用題的關鍵是建立數學模型，也就是將實際問題抽象為數學問題，從各種關系中找出最關鍵的數量關系，將這些關系用有關的量及數字、符號表示出來.一般地，解決應用題需突破以下3關：

(1)閱讀理解關：一般數學應用題的文字閱讀量都比較大，要通過閱讀審題，找出關鍵詞、句，理解其意義;

(2)建模轉化關：即建立實際問題的數學模型，將其轉化為數學問題;

(3)數理求解關：運用恰當的數學方法去解決已建立的數學模型．

4.3 綜合應用，滲透思想

“重視綜合能力的考查、在知識網絡的交匯處設計試題”是近幾年數學高考命題的重大改革趨勢，2010年的應用題體現了綜合運用的趨勢，譬如概率與統計、概率與排列組合、函數與幾何等的綜合應用.

探究性、應用性是創新型試題的重要組成部分，探究性、應用性試題具有強大的考查功能，能夠彌補傳統試題的不足，填補傳統試題的考查盲區.在教學中，一定要精心設計好數學探究的教學和數學建模的教學，同時也要把數學探究和數學建模的理念和思想滲透和融入到常規課堂教學中.