一種基于J-無損分解的性能加權函數優化設計

韓蕾， 傅紹文

（1.中國民航大學航空自動化學院，天津 300300;2.哈爾濱工業大學控制與仿真中心，黑龍江哈爾濱 150080）

0 引言

H∞控制理論在線性時不變系統魯棒控制方面一直擔負著重要角色，而加權函數選擇是其在實際應用中成功與否的關鍵。文獻［1］通過L綜合方法指出了伺服系統權函數選取的方向。文獻［2］討論了加權函數構造的一般化方法。伺服系統控制器設計的一個重要目標是達到系統的性能極限，性能加權函數優化反映了這種要求。一般而言，達到系統的最好性能，需要將閉環系統控制器與性能加權函數同時加以優化［3］。文獻［4］給出頻域內有限個頻率點的性能加權函數優化算法，隨著頻率點選取數量增多，計算量非常大。文獻［5］在系統狀態空間內通過分解技術得出一種性能加權函數優化算法，但算法中矩陣乘積的可交換條件很難滿足。

本文提出一種新的、易于計算的性能加權函數優化方法。首先利用閉環系統性能最優的條件，給出性能加權函數優化算法的迭代步驟。然后根據Bode積分關系以及H∞最優控制結果的全通特性，證明了算法的收斂性。最后基于J-無損分解方法給出了算法迭代過程中性能加權函數的更新公式。

1 性能加權函數優化方法

H∞控制經常將設計問題歸納成混合靈敏度問題，如圖1所示。

圖1 混合靈敏度問題Fig．1 Mixed sensitivity problem

其中:G（s）為被控對象;K（s）為閉環系統控制器;We（s）是性能加權函數，在控制器設計中可以調整;WT（s）是系統不確定性加權函數，在控制器設計中是固定不變的。混合靈敏度問題中用靈敏度函數S和補靈敏度函數T分別表示對系統的要求或約束，具體來說就是求解如下H∞優化問題，為

式中:S=（1+GK）－1;T=GK（1+GK）－1。所謂最優性能加權函數是指符合閉環系統性能要求且滿足如下條件的Wep［6］，即

1．1 性能加權函數優化算法迭代步驟

We表征了閉環系統對干擾的抑制水平以及靈敏度要求，一般具有低通特性。給定初始的性能加權函數We0，求解H∞最優控制問題

假定γ0<1。性能加權函數優化算法的指標可描述為:計算 Wep，滿足式（2），且有 ˉσ（Wep（jω））>ˉσ（We0（jω）），?ω。

給出性能加權函數優化算法的迭代步驟為:

步驟一:給定初始性能加權函數We0，求解H∞

步驟三:令We0=We1，重復步驟一、二，直到閉環系統范數收斂到1。

1．2 算法收斂性分析

最優控制問題，得到最優控制器K0，閉環系統H∞范數 γ0。

步驟二:控制器固定為K0，求解We1，滿足

系統不確定性一般在高頻影響顯著，在系統不確定性影響較大的頻段ω>ωm內，為保證系統魯棒穩定性有‖GK‖∞?1，ln（ˉσ（S））≈0。由于 H∞最優控制設計結果使得閉環系統具有全通特性，即曲線 －ln（ˉσ（S））與 ln（ˉσ（We））之差 Δ（ω）在低頻段0<ω<ωm上為常值，如圖2所示。因此有

圖2 性能權函數與靈敏度函數關系Fig．2 The relation between performance weight function and sensitivity function

1．3 基于J-無損分解的We1求取

下面討論性能加權函數優化迭代算法步驟二中We1的求取，結果表明不必借助步驟一中的控制器K0，即可由 We0、γ0以及 WT得出 We1。

由于性能加權函數主要表征了系統對低頻區域的要求，而系統的不確定性一般在高頻較大，式（8）可簡化為

此時，采用如上性能加權函數優化算法，滿足前述指標要求:由算法收斂性證明過程可知隨著迭代次數增加，閉環系統范數收斂到1，且有ˉσ（We1（jω））>ˉσ（We0（jω）），?ω。其迭代步驟可簡化為

步驟一:給定性能加權函數We0，求解H∞最優控制問題，得到閉環系統H∞范數γ0;

步驟二:令 We0=We0/γ0，重復步驟一，直到閉環系統范數收斂到1附近。

2 仿真實例

在圖1所示的系統中，給定不確定性加權函數、被控對象傳遞函數以及初始性能加權函數為

算法經過10次迭代后，閉環系統H∞范數收斂到0.992，得到最優性能加權函數為

圖4 算法迭代中閉環系統范數γFig．4 γ of the closed loop during algorithm’s iteration

3 結語

所提出性能加權函數優化算法具有非常簡單的表達形式，易于迭代計算，且具有較快的收斂速度。雖然算法的得出是以混合靈敏度問題為背景的，但經過類似的推導過程可知對于一般的H∞控制問題該算法仍然適用。

［1］ 王廣雄，何雨奮.伺服設計的性能極限［J］.電機與控制學報，1997，1（4）:238－240.

WANG Guangxiong，HE Yufen.Performance limit of servo design［J］.Electric Machines and Control，1997，1（4）:238 －240.

［2］ 王曦，曾慶福.頻域不確定性系統加權混合靈敏度函數頻域整形［J］.航空學報，1999，20（4）:358－361.

WANG Xi，ZENG Qingfu.Frequency shaping of mixed weighted sensitivity function for frequency uncertainty systems［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，1999，20（4）:358－361.

［3］LANZON Alexander.Weight Optimisation in H∞Loop-shaping［J］.Automatica，2005，41:1201 －1208.

［4］LANZON Alexander.Pointwise in frequency performance weight optimization in μ synthesis［J］.International Journal of Robust and Nonlinear Control，2005，15（2）:171 －199.

［5］LANZON Alexander.On the formulation and solution of robust performance problems［J］.Automatica，2003，39（11）:1707－1720.

［6］ 王廣雄.H∞控制中的LMI法.電機與控制學報［J］.1997，1（2）:71－74.

WANG Guangxiong.On the LMI Approach to H∞Control［J］.E-lectric Machines and Control，1997，1（2）:71 －74.

［7］ GREEN M，GLOVER K，LIMEBEER D，et al.A J-spectral factorization approach to H∞control［J］.SIAM Journal of Control and Optimization，1990，28（6）:1350－1371.

（編輯:劉素菊）