巧推經(jīng)典和相對(duì)論多普勒效應(yīng)公式

黃 偉 陸天明

(南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校 江蘇 南京 211102)

無(wú)論是經(jīng)典多普勒效應(yīng)公式還是相對(duì)論多普勒效應(yīng)公式,在大學(xué)物理教材中都可以找到其具體的推導(dǎo)方法,而且每種多普勒效應(yīng)公式的推導(dǎo)方法都不止一種.但是這些推導(dǎo)方法均較為繁瑣.筆者在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn),通過(guò)建模,可以對(duì)兩種多普勒效應(yīng)公式進(jìn)行非常巧妙的推導(dǎo),特別是對(duì)于相對(duì)論多普勒效應(yīng)公式,推導(dǎo)過(guò)程顯得尤其簡(jiǎn)潔.

1 巧推經(jīng)典多普勒效應(yīng)公式

假設(shè)某汽車以速度u遠(yuǎn)離觀測(cè)者，在此過(guò)程中汽車向觀察者發(fā)出兩個(gè)光波脈沖，其時(shí)間間隔為ΔtE.設(shè)聲音的速度為v,考慮到汽車在發(fā)射兩個(gè)光脈沖時(shí)又退行了uΔtE,所以觀察者接收到的兩個(gè)脈沖的時(shí)間間隔為

即

若聲源發(fā)出的聲波的周期為T0,觀察者觀測(cè)到的周期為T,則由上式可以看出二者的關(guān)系為

(1)

如果聲源朝向觀察者運(yùn)動(dòng),則將(1)式的u用-u替代,有

(2)

2 巧推相對(duì)論多普勒效應(yīng)公式

和上面的模型相似,假設(shè)某一飛船以u(píng)速度遠(yuǎn)離地球(即退行速度為u)，在此過(guò)程中飛船向地球發(fā)出兩光脈沖，其時(shí)間間隔為ΔtE.令宇宙飛船所在參考系為S′，地球所在參考系為S.則由于時(shí)間膨脹效應(yīng),S′系發(fā)射電磁波的時(shí)間間隔ΔtE，在S系看來(lái)應(yīng)為

(3)

考慮到飛船在發(fā)射兩個(gè)光脈沖時(shí)又退行了uΔtE,所以地球接收到的兩個(gè)兩脈沖的時(shí)間間隔應(yīng)為

(4)

由(3)、(4)兩式可得

所以,一個(gè)相對(duì)觀察者退行速度為u的光源,若它所發(fā)出光的周期為T0,則觀察者觀測(cè)到的周期為T,二者關(guān)系為

令S′系中光的頻率為f0,S系中光的頻率為f,則

(5)

若光源朝向觀察者運(yùn)動(dòng),則將(5)式的u用-u替代，即

(6)

比較(1)和(5)式,或(2)式和(6)式,可以看出相對(duì)論多普勒效應(yīng)的公式和經(jīng)典多普勒效應(yīng)的公式在形式上是完全不同的.