高考中兩種曲線運動的綜合問題的分析

黃治芳 張 志 鋒

(商南高級中學 陜西 商南 726300)

圓周運動和(類)平拋運動是高中物理中兩種典型的曲線運動;前者為變速曲線運動，后者為勻變速曲線運動.在考題中往往把兩種運動綜合在一起形成較為復雜運動問題，以下舉例分析，以便共同探討．

1 相遇問題

當兩物體分別做平拋運動和圓周運動而在空間相遇時，注意從時間和空間的角度去分析，結合各自的運動規律，尋求等量關系，來解決此類問題．

圖1

(1)電場強度E的大小是多少？

圖2

解析：小球1與小球2相碰后同時開始分別做圓周運動和平拋運動，在運動過程中相遇，具有等時性.如圖2所示分別為圓周運動和平拋運動的軌跡，在M點相遇，有著對應的幾何關系．

(1)小球1所受的重力與電場力始終平衡，有

m1g=q1E

E=2.5 N/C

(2)相碰后小球1做勻速圓周運動，由牛頓第二定律得

兩小球碰后到相遇的運動時間為

L=R=v2t

得v2=3.75 m/s

兩小球第一次碰撞前后動量守恒，以水平向右為正方向，則有

m1v0=-m1v1+m2v2

兩小球質量之比

2 運動的突變

當物體做平拋運動時，在某時刻受到約束，突然變化為圓周運動.在兩種運動銜接時，經過一個運動的突變過程，在此時不可忽視速度的突變，應注意速度的分解．

(1)輕繩即將伸直時，繩與豎直方向的夾角；

(2)當質點到達O點的正下方時，繩對質點的拉力.

圖3

解析：質點先做平拋運動，當繩繃直瞬間，質點的速度發生突變：沿繩方向的速度突變為0，質點為將由平拋運動突變為圓周運動．

(1)第一過程：質點平拋運動，設繩即將繃直時，繩與豎直方向的夾角為θ，如圖3示.則有

lsinθ=v0t

代入v0聯立解得

(2)第二過程：繩繃直過程，在繩繃直時速度突變為v⊥，且有

(3)第三過程：質點在豎直平面內做圓周運動,設質點到達O點正下方時，速度為v′，由動能定理得

設質點到達最低點時繩的拉力為T，則

3 運動的鏈接

3.1 從平拋運動到圓周運動

物體先做平拋運動，后過渡為圓周運動，在這樣的運動鏈接時，類平拋運動的末速度的大小即為勻速圓周運動中的速率，同時在兩種運動中還存在著一定的幾何關系，應注意兩種運動中的聯系．

【例3】(2009年天津高考題)如圖4所示，直角坐標系xOy位于豎直平面內，在水平的x軸下方存在勻強磁場和勻強電場，磁場的磁感應強度為B，方向垂直xOy平面向里，電場線平行于y軸．一質量為m、電荷量為q的帶正電的小球，從y軸上的A點水平向右拋出，經x軸上的M點進入電場和磁場，恰能做勻速圓周運動，從x軸上的N點第一次離開電場和磁場，MN之間的距離為L，小球過M點時的速度方向與x軸的方向夾角為θ.不計空氣阻力.重力加速度為g.求：

(1)電場強度E的大小和方向；

(2)小球從A點拋出時初速度v0的大小;

(3)A點到x軸的高度h.

圖4

解析：本題中小球先做平拋運動，后在復合場中做勻速圓周運動，由平拋運動過渡到圓周運動．

(1)小球在電場、磁場中恰能做勻速圓周運動，說明電場力和重力平衡，有

qE=mg

(1)

重力的方向豎直向下，電場力方向只能向上，由于小球帶正電，所以電場強度方向豎直向上．

圖5

(2)小球做勻速圓周運動，O′為圓心，MN為弦長，∠MO′P=θ，如圖5所示．設半徑為r，由幾何關系知

(2)

小球做勻速圓周運動的向心力由洛倫茲力提供，設小球做圓周運動的速率為v，有

(3)

由速度的合成與分解知

(4)

由(2)、(3)、(4)式得

(5)

(3)設小球到M點時的豎直分速度為vy，它與水平分速度的關系為

vy=v0tanθ

(6)

由勻變速直線運動規律

vy2=2gh

(7)

由(5)、(6)、(7)式得

(8)

3.2 從圓周運動到平拋運動

物體先做圓周運動，后過渡為類平拋運動，在這樣的運動鏈接時，圓周運動中速率即為類平拋運動的初速度的大小，同時在兩種運動中還存在著一定的幾何關系.應注意兩種運動中的聯系．

圖6

【例4】(2009年全國高考卷Ⅱ)如圖6，在寬度分別為l1和l2的兩個毗鄰的條形區域分別有勻強磁場和勻強電場，磁場方向垂直于紙面向里，電場方向與電、磁場分界線平行向右．一帶正電荷的粒子以速率v從磁場區域上邊界的P點斜射入磁場，然后以垂直于電、磁場分界線的方向進入電場，最后從電場邊界上的Q點射出．已知PQ垂直于電場方向，粒子軌跡與電、磁場分界線的交點到PQ的距離為d．不計重力,求電場強度與磁感應強度大小之比及粒子在磁場與電場中運動時間之比．

解析：本題考查帶電粒子在有界磁場中的運動.粒子在磁場中做勻速圓周運動，如圖7所示．由于粒子在分界線處的速度與分界線垂直，圓心O應在分界線上,OP長度即為粒子運動的圓弧的半徑R.，由幾何關系得

R2=l12+(R-d)2

(9)

圖7

設粒子的質量和所帶正電荷分別為m和q,由洛倫茲力公式和牛頓第二定律得

(10)

設P′為虛線與分界線的交點,∠POP′=α,則粒子在磁場中的運動時間為

(11)

式中用了關系

(12)

粒子進入電場后做類平拋運動,其初速度為v,方向垂直于電場.設粒子的加速度大小為a.由牛頓第二定律得

qE=ma

(13)

由運動學公式有

(14)

l2=vt2

(15)

由(9)、(10)、(13)、(14)、(15)式得

(16)

由(9)、(11)、(12)、(15)式得