非平衡態下彈簧測力計測量示數的研究

方銀良

(衢州第二中學 浙江 衢州 324000)

彈簧測力計是一種常見的測力儀器，一般要求在平衡狀態下使用，測力計示數等于作用在秤鉤上外力的大小．有同學問：在非平衡狀態下彈簧測力計示數與外力是什么關系？

為了更一般地闡述這一關系，可把這一問題改為下述情景．

【題1】如圖1，某彈簧測力計放在光滑的水平面上，左右兩端分別受水平拉力F1、F2作用．若彈簧勁度系數為κ，質量為m，外殼質量為M，則其示數為多少？

分析：彈簧測力計指針顯示的實際上是彈簧形變量的大小，彈簧測力計是用彈簧的形變量Δx來反映彈簧彈力大小的，而彈力的大小由彈簧本身勁度系數κ及形變量Δx決定，由公式F=κΔx得出．彈簧勁度系數κ是其本身的一種屬性，所以問題的關鍵是如何求出此情況下彈簧的形變量Δx．

圖1

解：一般地，假設彈簧測力計以加速度a水平向左運動，則

(M+m)a=F1-F2

圖2

圖3 圖4

以滑塊1為研究對象(圖3)，有

以滑塊1 2為研究對象(圖4)，有

……

以滑塊為研究對象(圖2)，有

ma=T2-F2=nκΔxn-F2

得

nκ(Δx1+Δx2+…+Δxn)-nF2

所以，彈簧總的伸長量

當n趨向無窮大時，

因為彈簧測力計的刻度是在靜止狀態下標度的，所以，彈簧測力計在伸長Δx時顯示的示數為

這就是實際彈簧測力計示數的表達式．下面對此式進行討論.

(4)若同時M=0，m=0，F1≠F2時無解(實際情況不存在)；F1=F2時同(2)．

(5)一般情況下，彈簧形變量為

彈簧測力計的示數

圖5

以上是彈簧測力計水平方向放置時的示數情況.若豎直放置測量呢？

圖6

【題2】彈簧測力計上端固定在天花板上，測力計外殼質量為M，彈簧的質量為m，勁度系數為κ，若下端受拉力為F，此時測力計示數多大？

……

以滑塊n為研究對象nκΔxn=F+mg

由以上各式左右兩邊分別相加可得

nκ(Δx1+Δx2+…+Δxn)=

即彈簧總的伸長量為

Δx=Δx1+Δx2+…+Δxn=

當n趨向無窮大時

所以，此時測力計示數

這是實際彈簧測力計的示數．若彈簧是輕質的，即m=0，則其示數就等于作用在秤鉤上的力．

我們把上式再變形一下，因為彈簧上端的作用力F′=mg+F，故彈簧形變量表達式又可變為

這與水平放置時彈簧形變量的表達式一樣，測力計示數為

綜上所述，有質量彈簧的形變量跟彈簧兩端的作用力都有關，彈簧測力計示數不等于作用于彈簧某一端的力，而是等于兩端作用力代數和的一半．

由此可見，用彈簧測力計測量外力時，其示數等于被測外力大小是有一定條件的．

中學階段平常所接觸的彈簧測力計都當作由理想輕質彈簧構成，且要求在平衡狀態下使用，故其示數就等于作用在秤鉤上的作用力的大小．