一個向心力問題的解法討論

李朝棟

(寧河縣蘆臺第一中學 天津 寧河 301500)

物體在豎直面內圓周軌道上運動位于最低點時，由彈力和重力的合力充當向心力.如果軌道固定，則可由向心力公式直接計算彈力的大小.但是，如果軌道不是固定的，即圓心位置移動時，彈力的大小又應該如何計算？現在通過一個例題來說明這一問題.

如圖1所示，已知光滑的圓弧槽質量為M，半徑為R，放在光滑水平面上.質量為m的小球可視為質點，從圓弧頂端A點滑下，求小球滑至圓弧最低點時球對槽的壓力.

圖1

下面比較兩種不同的解法.

解法一：

首先求出小球滑至弧底時小球和槽相對于地面的速度，這是一個常規的動量守恒問題，設小球和圓弧槽的速度分別為v和V，由水平方向的動量守恒和系統機械能守恒

MV=mv

(1)

(2)

解得

(3)

(4)

以m相對于地面的速度代入向心力公式

(5)

可得

(6)

解法二：

以二者相對速度計算向心力，因為v向右，V向左，所以二者的相對速度為

(7)

代入向心力公式

(8)

解得

(9)

兩種解法的結果是不同的，哪個結果正確呢？

當小球運動時，由于系統水平動量守恒，圓弧槽出現了水平向左的速度，即軌道的圓心在向左移動，小球在整個運動過程中，相對于槽做的是圓周運動.由于圓心的移動，使小球相對于地面所做并非圓周運動，不能簡單地以地面為參照系代入向心力公式求解.如果采用小球相對于地面的運動進行計算，就必須先確定小球相對于地面的運動軌跡，然后找出其運動到最低點時的曲率半徑，方法如下：

解法三：

以圓弧槽開始運動時圓心的位置O點為原點建立平面直角坐標系，如圖2所示.當小球滑至某點P點時，圓弧槽的圓心位置為O′，設OO′=X，則P點的坐標可以表示為

x=X+Rcosθ

(10)

y=Rsinθ

(11)

圖2

由上述兩個方程消去參數θ可得

(x-X)2+y2=R2

(12)

為了計算X的值,我們來看二者所組成的系統的質心位置,初始時系統質心的橫坐標為

(13)

小球滑至P點時,系統質心的橫坐標為

(14)

由于系統在水平方向上所受合外力為零,由質心運動定理可知，系統質心的橫坐標不變，所以

xC1=xC2

(15)

由(13) (14) (15)式可得

(16)

代入(12)式,得

(17)

此為一橢圓方程,其軌跡如圖3中虛線所示,

圖3

且半長軸為a=R

當小球位于槽的最低點，即相對于地面的橢圓軌道的最低點(圖3中Q點)時,曲率半徑為

(18)

應用牛頓第二定律

(19)

解得

(20)

這種方法的結果與上述解法二相同.出現上述結果的原因是：小球相對于軌道的圓心O點的距離是不變的，即小球相對于圓弧槽所做的是圓周運動，而在小球下落過程中，圓心相對于地面是移動的，小球相對于地面作的并不是圓周運動，所以不能直接應用圓周運動的規律求解,解法一是不合理的.

再看解法二的合理性，主要的問題是圓弧槽參考系是否為慣性系的問題，小球下落過程中，槽有加速度，是非慣性系，但當小球落至最低點時，圓弧槽所受的外力全在豎直方向上，因而沒有加速度，滿足慣性系的條件.因此，在小球處于最低點時，以圓弧槽為參考系解決問題是合理的，即，可以采取解法二中方法用兩個物體相對運動的速度計算向心力.

此例還可以推廣到其他類似情況，如:

(1)質量為M滑塊穿在光滑水平桿上,與質量為m的小球由輕質細桿相連,桿長為l,初始時輕桿處于水平狀態，求當擺球運動至最低點時,桿對球的拉力.

圖4

(2)質量為M、半徑為R的圓環放在光滑水平面上,質量為m的小球(可視為質點)可在圓環內側運動，初始時小球處于與圓心等高的位置從靜止開始釋放，求當小球運動到圓環的最低點時,小球對環的壓力.

圖5