一個(gè)向心力問題的解法討論

李朝棟

(寧河縣蘆臺(tái)第一中學(xué) 天津 寧河 301500)

物體在豎直面內(nèi)圓周軌道上運(yùn)動(dòng)位于最低點(diǎn)時(shí)，由彈力和重力的合力充當(dāng)向心力.如果軌道固定，則可由向心力公式直接計(jì)算彈力的大小.但是，如果軌道不是固定的，即圓心位置移動(dòng)時(shí)，彈力的大小又應(yīng)該如何計(jì)算？現(xiàn)在通過一個(gè)例題來(lái)說(shuō)明這一問題.

如圖1所示，已知光滑的圓弧槽質(zhì)量為M，半徑為R，放在光滑水平面上.質(zhì)量為m的小球可視為質(zhì)點(diǎn)，從圓弧頂端A點(diǎn)滑下，求小球滑至圓弧最低點(diǎn)時(shí)球?qū)Σ鄣膲毫?

圖1

下面比較兩種不同的解法.

解法一：

首先求出小球滑至弧底時(shí)小球和槽相對(duì)于地面的速度，這是一個(gè)常規(guī)的動(dòng)量守恒問題，設(shè)小球和圓弧槽的速度分別為v和V，由水平方向的動(dòng)量守恒和系統(tǒng)機(jī)械能守恒

MV=mv

(1)

(2)

解得

(3)

(4)

以m相對(duì)于地面的速度代入向心力公式

(5)

可得

(6)

解法二：

以二者相對(duì)速度計(jì)算向心力，因?yàn)関向右，V向左，所以二者的相對(duì)速度為

(7)

代入向心力公式

(8)

解得

(9)

兩種解法的結(jié)果是不同的，哪個(gè)結(jié)果正確呢？

當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于系統(tǒng)水平動(dòng)量守恒，圓弧槽出現(xiàn)了水平向左的速度，即軌道的圓心在向左移動(dòng)，小球在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，相對(duì)于槽做的是圓周運(yùn)動(dòng).由于圓心的移動(dòng)，使小球相對(duì)于地面所做并非圓周運(yùn)動(dòng)，不能簡(jiǎn)單地以地面為參照系代入向心力公式求解.如果采用小球相對(duì)于地面的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行計(jì)算，就必須先確定小球相對(duì)于地面的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后找出其運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的曲率半徑，方法如下：

解法三：

以圓弧槽開始運(yùn)動(dòng)時(shí)圓心的位置O點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示.當(dāng)小球滑至某點(diǎn)P點(diǎn)時(shí)，圓弧槽的圓心位置為O′，設(shè)OO′=X，則P點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示為

x=X+Rcosθ

(10)

y=Rsinθ

(11)

圖2

由上述兩個(gè)方程消去參數(shù)θ可得

(x-X)2+y2=R2

(12)

為了計(jì)算X的值,我們來(lái)看二者所組成的系統(tǒng)的質(zhì)心位置,初始時(shí)系統(tǒng)質(zhì)心的橫坐標(biāo)為

(13)

小球滑至P點(diǎn)時(shí),系統(tǒng)質(zhì)心的橫坐標(biāo)為

(14)

由于系統(tǒng)在水平方向上所受合外力為零,由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可知，系統(tǒng)質(zhì)心的橫坐標(biāo)不變，所以

xC1=xC2

(15)

由(13) (14) (15)式可得

(16)

代入(12)式,得

(17)

此為一橢圓方程,其軌跡如圖3中虛線所示,

圖3

且半長(zhǎng)軸為a=R

當(dāng)小球位于槽的最低點(diǎn)，即相對(duì)于地面的橢圓軌道的最低點(diǎn)(圖3中Q點(diǎn))時(shí),曲率半徑為

(18)

應(yīng)用牛頓第二定律

(19)

解得

(20)

這種方法的結(jié)果與上述解法二相同.出現(xiàn)上述結(jié)果的原因是：小球相對(duì)于軌道的圓心O點(diǎn)的距離是不變的，即小球相對(duì)于圓弧槽所做的是圓周運(yùn)動(dòng)，而在小球下落過程中，圓心相對(duì)于地面是移動(dòng)的，小球相對(duì)于地面作的并不是圓周運(yùn)動(dòng)，所以不能直接應(yīng)用圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解,解法一是不合理的.

再看解法二的合理性，主要的問題是圓弧槽參考系是否為慣性系的問題，小球下落過程中，槽有加速度，是非慣性系，但當(dāng)小球落至最低點(diǎn)時(shí)，圓弧槽所受的外力全在豎直方向上，因而沒有加速度，滿足慣性系的條件.因此，在小球處于最低點(diǎn)時(shí)，以圓弧槽為參考系解決問題是合理的，即，可以采取解法二中方法用兩個(gè)物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)的速度計(jì)算向心力.

此例還可以推廣到其他類似情況，如:

(1)質(zhì)量為M滑塊穿在光滑水平桿上,與質(zhì)量為m的小球由輕質(zhì)細(xì)桿相連,桿長(zhǎng)為l,初始時(shí)輕桿處于水平狀態(tài)，求當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)時(shí),桿對(duì)球的拉力.

圖4

(2)質(zhì)量為M、半徑為R的圓環(huán)放在光滑水平面上,質(zhì)量為m的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))可在圓環(huán)內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)，初始時(shí)小球處于與圓心等高的位置從靜止開始釋放，求當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到圓環(huán)的最低點(diǎn)時(shí),小球?qū)Νh(huán)的壓力.

圖5