利用物理模型解決彈簧類問題

馬立收

(南宮中學 河北 南宮 055750)

彈簧問題經常出現在高考中，是由于彈簧和與其相連的物體構成的系統相互作用時涉及到的物理規律比較多、運動狀態比較復雜、所給條件比較隱蔽.彈簧問題能考查學生分析物理過程、建立物理模型的能力，對學生思維能力和知識遷移能力的要求也比較高.

彈簧類問題題型多樣，但用模型法分析彈簧與其相連的物體還是有章可循的.

1 彈簧與其相連的物體處于靜止狀態或勻速直線運動狀態的模型

彈簧處于壓縮或伸長時彈力沿彈簧方向，利用胡克定律和平衡條件是解決此類問題的基本方法.有時也利用彈簧的彈力不突變的特點來解題.

【例1】如圖1，小球重為G，固定在半徑為R的大環上.輕彈簧原長為L(L<2R)其勁度系數為κ，接觸面光滑.求小球靜止時彈簧與豎直方向的夾角α.

圖1

圖2

解析：以小球為研究對象，受力如圖2.若在圖1中彈簧處于壓縮狀態，則小球與環的彈力無論向里還是向外均無法平衡.所以彈簧一定處于伸長狀態.由圖2中F′在N、G的角平分線上，根據平衡條件：

F=2mgcosα

(1)

由胡克定律可得

F=κx=κ(2Rcosα-L)

(2)

由以上兩式得

【例2】如圖3所示，質量為m的小球在不可伸長的繩AC和輕彈簧BC作用下靜止，且AC=BC，∠BAC=θ.突然在小球附近剪斷繩子時，求小球的加速度.

圖3

解析:小球平衡時水平方向

T1cosθ=T2cosθ

(3)

豎直方向

T1sinθ+T2sinθ=mg

(4)

由(3)、(4)式得

所以剪斷后

得

方向沿AC向下.

圖4

【例3】如圖4，質量為m1、m2的木塊用一根原長為L勁度系數為κ的輕彈簧相連，木塊與水平地面間的動摩擦因數為μ，現用一水平力向右拉木塊2.

求:當兩木塊一起勻速運動時，兩木塊之間的距離.

解析:適當選取研究對象，利用平衡條件求解.

以木塊1為研究對象

μm1g=κx

(5)

得

所以

2 彈簧與其相連的物體處于勻變速直線運動狀態的模型

抓住運動過程中彈簧彈力為一變量的特征，充分挖掘隱含條件，利用牛頓運動定律和胡克定律解題.

【例4】勁度系數為κ的彈簧掛在天花板的O點，下端掛一質量為m的木塊用托盤托著，使彈簧位于原長.然后使其以加速度a由靜止開始勻加速下降，求物體勻加速下降的時間.

解析:以木塊為研究對象，木塊下降過程中彈簧彈力隨x的增大而增大，托盤的支持力N之減小.

隱含條件：當N=0時為勻加速的末態，設此時彈簧伸長量為x，有

mg-κx=ma

(6)

(7)

由(6)、(7)式可得

3 彈簧與其相連的物體處于簡諧運動(或簡諧運動的一部分)的模型

彈簧與其相連的物體做簡諧運動時具有對稱性，利用簡諧運動的對稱性是解決此類問題的有效手段.

圖5

【例5】如圖5示，一質量為M的塑料球型容器，在A處與水平面接觸.它的內部有一直立的輕彈簧，彈簧下端固定于容器內部底部，上端系一帶正電、質量為m的小球在豎直方向振動.當加一向上的勻強電場后，彈簧正好在原長時，小球恰好有最大速度，在振動的過程中球型容器對桌面的最小 壓力為零.求小球振動的最大加速度和容器對桌面的最大壓力.

解析：小球受重力、彈力和電場力，在豎直方向做簡諧運動.要抓住簡諧運動的對稱性.

彈簧原長時有最大速度，即此位置為簡諧運動的平衡位置，此時有

qE=mg

(8)

小球在最高點時，對容器有

κx=Mg

(9)

對小球有

F=mg+κx-qE

(10)

由(8)、(9)、(10)式得

F=Mg

即最大加速度為

由簡諧運動的對稱性知，小球在最低點和最高點具有大小相等的加速度.

在最低點時，對小球有

κx′-mg+qE=ma

得

κx′=Mg

此時容器對桌面有最大壓力

FN=Mg+κx′=2Mg

圖6

【例6】已知彈簧勁度系數為κ，物塊重為m，彈簧立在水平面上，下端固定，上端固定一輕圓盤，物塊放于盤中，如圖6示.現給物塊一個向下的壓力F，當物塊靜止時撤去外力，在運動過程中物塊正好不離開盤.求：

⑴給物塊所加的向下的壓力F；

⑵在運動過程中盤對物體的最大作用力.

解析： ⑴物塊在豎直面內受重力、彈力的作用做簡諧運動.由物塊正好不離開盤(簡諧運動的最高點)時，可知

N=0

彈簧恰處于原長，所以有

F向=mg

由對稱性知最低點時

F向=κx-mg=mg

所以

κx=2mg

物塊靜止在最低點時

F+mg=κx

所以

F=mg

⑵在最低點時盤對物體的支持力最大，有

FN-mg=F向=mg

得FN=mg

顯然，分析簡諧運動的對稱性是解決此類問題的關鍵所在.

【例7】一根輕彈簧豎直放在水平地面上，一個物體從高處自由下落到彈簧上部.當彈簧被壓縮x0時物塊速度變為零，物塊的速率v隨下降位移x的變化情況與圖7中4個圖像比較一致的是

圖7

4 彈簧與其相連的物體處于非勻變速直線運動狀態的模型

在此模型的問題中，彈簧的彈性勢能和其他形式的能發生相互轉化，考慮功能關系是解決此類問題的基本思路.

【例8】如圖8，固定的水平光滑金屬導軌間距為L，左端接有阻值為R的電阻，處在方向垂直于紙面向里磁感應強度為B的勻強磁場中，質量為m的導體棒與固定彈簧相連，放在導軌上，導軌與導體棒的電阻均可忽略.初始時刻彈簧恰處于自然狀態，導體棒具有水平向右的初速度v0，在沿導軌往復運動的過程中，導體棒始終與導軌垂直并保持接觸良好.問：

圖8

⑴若導體棒從初始時刻到速度第一次為零時，彈簧的彈性勢能為Ep，則這一過程中安培力所做的功W1和電阻R上產生的焦耳熱Q1分別為多少？

⑵導體棒往復運動，最終將靜止在何處？從導體棒開始運動到最終靜止的過程中，電阻R上產生的焦耳熱Q2為多少？

解析： 導體棒受彈力、安培力均為變力，運動過程較復雜，但從功能關系上考慮會有茅塞頓開的感覺.

⑴在這一過程中，彈性勢能增加、動能減少.由功能關系可得

⑵由平衡條件可判斷棒最終靜止于初始位置.

由功能關系可得