“雨滴下落”和“傘兵空降”
——談直線運動中的兩種典型變加速運動模型

李晶

(淮陰中學 江蘇 淮安 223001)

高中物理研究的直線運動主要是勻變速運動和簡單的變加速運動，而在變加速直線運動中有兩種最典型且最基本的模型，即“雨滴下落”模型和“傘兵空降”模型.

1 模型一——雨滴下落模型

一質量為m的雨滴在高空由靜止開始下落，設下落過程中受到的空氣阻力與雨滴下落速率成正比，即f=kv，重力加速度為g.

【問題1】求解雨滴下落的終極速度.

圖1

【問題2】設雨滴從靜止下落到速度最大所用時間為t，求解雨滴達到終極速度前下落的位移x.

等式兩邊求和

即

而

解得

【模型應用1】如圖2所示，水平放置的兩根光滑平行金屬導軌置于垂直于導軌平面的勻強磁場中，磁感應強度為B，導軌間距為L.導軌左端連接一電阻，阻值為R.有一質量為m的金屬棒放置在導軌平面上，并與導軌垂直，在恒定拉力F的作用下由靜止開始運動，經過時間t，金屬棒速度達到穩定，棒與導軌電阻均不計.求：(1)金屬棒最終的穩定速度；(2)金屬棒達到穩定速度前通過的位移.

圖2

當a=0時，最大速度

等式兩邊同乘Δt得

兩邊同時求和得

解得通過的位移

【模型應用2】如圖3所示，PQ為一根足夠長的絕緣細直桿豎直固定，空間充滿磁感應強度為B的水平勻強磁場，方向垂直紙面向里.一個質量為m，帶有正電荷的小球套在PQ桿上，小球可沿桿滑動，球與桿之間的動摩擦因數為μ，小球帶電荷為+q，重力加速度為g.現將小球由靜止開始釋放，經過時間t達到最大速度，試求：小球在沿桿下滑過程中(1)最大速度；(2)從釋放到達到最大速度的位移.

圖3

【解析】當a=0時速度最大，即

解得

小球由靜止釋放做加速度減小的加速運動，其加速度

兩邊同乘Δt，得

兩邊同時求和，得

解得從釋放到速度最大時的位移為

【模型總結】高中階段除了“雨滴下落”和電磁感應中導體棒的運動、磁場中帶電體的運動等，還有很多類似的例子.其實從運動過程來看都是加速度逐漸減小的加速直線運動，最終的穩定態加速度為零，速度最大.

2 模型二——傘兵空降模型

一質量為m的傘兵從足夠高的高空跳下，加速運動到一穩定速度v0后打開降落傘，此后受到的空氣阻力與傘兵速率成正比，即f=kv，重力加速度為g.

【問題1】求解傘兵最終的速度.

【解析】傘兵跳下后可看作先經歷一加速運動直至速度v0，加速過程類似于雨滴下落.開傘后由于初速度很大，空氣阻力大于重力，做減速運動且

kv-mg=ma

隨著速率的減小，加速度a逐漸減小，最終當a=0時，傘兵達到最小速度，即終極速度

傘兵做的是加速度逐漸減小的減速運動，此過程的v-t圖像如圖4所示.

圖4

【問題2】設傘兵從開傘到速度最小所用時間為t，求解傘兵從開傘到速度最小時的位移x.

【解析】此過程傘兵做的是變加速直線運動.根據牛頓第二定律知傘兵加速度

即加速度隨v線性變化.設時間微元為Δt，可得

等式兩邊求和得

而

解得

【模型應用1】如圖5所示，水平放置的兩根平行金屬導軌置于垂直于導軌平面的勻強磁場中，磁感應強度為B，導軌間距為L.導軌左端連接一電阻，阻值為R.有一質量為m的金屬棒放置在導軌平面上，并與導軌垂直.棒以初速度v0開始運動，經過時間t后停下，棒與導軌電阻均不計，棒與導軌間動摩擦因數為μ，求：金屬棒整個過程通過的位移.

圖5

【解析】由牛頓第二定律，有

得

等式兩邊同乘Δt，得

求和后得

解得棒通過的位移

【模型應用2】跳傘運動員從2 000 m高空跳下，在開始下落的過程中未打開降落傘.設初速度為零，所受空氣阻力與下落速率關系為f=k1v，k1>0，加速至獲得穩定速度為vm=50 m/s時運動員離地面高度s=200 m，此后打開降落傘，在2 s內速度減小到v1=5 m/s，達到穩定，此過程所受空氣阻力與下落速率的關系為f=k2v，k2>0，然后勻速下落到地面.求：(1)運動員打開降落傘后運動的時間(2)運動員在空中運動的總時間.

【解析】打開傘前運動員做加速運動至速度為vm，此時

k1vm=mg

(1)

而此加速過程中

(2)

(3)

即

(4)

其中

x1=(2 000-200) m=1 800 m

聯立解得

t1=41 s

開傘后運動員做減速運動至速度為v1，此時

k2v1=mg

(5)

而此減速過程中

(6)

(7)

(8)

聯立解得開傘后減速運動的位移

x2=32.5 m

則勻速運動的時間

所以打開傘后的運動時間為

t2+t3=35.5 s

運動員在空中運動的總時間為

t1+t2+t3=76.5 s

【模型總結】“傘兵空降”模型從運動過程來看是加速度逐漸減小的減速直線運動，最終的穩定態加速度為零，速度最小.

3 模型總結

在高中階段會接觸很多變加速直線運動，大多數屬于這兩類比較基本模型.在解決一些新情境的題目時如果能夠準確識別運動的特點，解決問題就變得容易許多.其實這兩類模型從本質上看都是變加速直線運動，且加速度與速度呈線性關系.通過對加速度表達式兩邊同乘以時間微元Δt的方法，再兩邊求和，從而得出速度變化量Δv、位移x、運動總時間t這三者之間的關系，在題目中根據已知量求解未知量，解決問題.此方法也是江蘇高考近幾年的考查熱點.