對一類涉及電場邊界問題的商討

陳澤旭 陳建華

(武漢外國語學校 湖北 武漢 430022) (武漢市第一中學 湖北 武漢 430000)

我們常常在一些聯考和大型考試中發現有這樣一類型的題目，往往還是最后的壓卷題，在電場的邊界模型上出現了問題，或沒有引起重視而導致一些錯誤.下面舉幾個例子，和同行們共同商討，拋磚引玉．

題目1：如圖1所示，x軸上方有一勻強磁場，方向垂直紙面向里，磁感應強度大小為B，x軸下方有一勻強電場，電場強度大小為E，方向斜向上方，且與x軸夾角θ為45°．現有一質量為m、電荷量為q的正離子，以速度v0由y軸上的A點沿y軸正方向射入磁場，該離子在磁場中運動一段時間后從x軸上的C點進入電場區域，經過C點時的速度方向與x軸夾角為45°．不計離子的重力，設磁場區域和電場區域足夠大．求：

(1)C點的坐標；

(2)離子從A點出發到第三次穿越x軸運動的時間．

圖1

圖2

解答：(1)磁場中帶電粒子在洛倫茲力作用下做圓周運動，故有

粒子運動軌跡如圖2所示,由幾何知識可得

(2)設粒子從A運動到C的時間為t1，由題意得

設粒子從C點進入電場到返回C點的時間為t2，粒子在電場中做運變速運動，由牛頓第二定律和運動學知識，有

qE=ma2v0=at2

解得

設粒子從C點進入磁場運動至D點的時間為t3，由題意得

所以粒子從A點到第三次穿越x軸的時間為

此題的分析與解答看似都沒有什么問題，實際上違背了電場力做功與路徑無關的規律，違背了靜電場的環路定理.究其原因主要是此題設計的物理模型出現了很大的問題．從分析圖2所示，粒子從C點進入電場，返回C點在磁場中做圓周運動到D點，在計算此題時認為速度的大小沒有發生變化，事實上并非如此．我們從C點作一條與電場線垂直的直線CF——電場中的等勢線，連接FD——電場中的電場線.可以看出C點和D點不是等勢點，粒子從C點到D點，電場力做了功，粒子在C、D兩點的速度不相等．問題出現在哪里呢？我認為出現在對電場的邊界的設計上不合理，或者是錯誤的．按照題目設計和解答，可以看出命題者是把x軸作為電場的邊界.而x軸并不是電場中的等勢線，實際中并不存在這樣的電場邊界，理論上也不成立．

類似的題目在很多聯考或大型考試中屢見不鮮，有的甚至設計出了永動機．如下面一個題目出現過很多次了．

題目2：如圖3，半徑為R的環形塑料管固定豎直面放置，AB為環的水平直徑，管的粗細遠小于環的半徑，AB及以下部分處于水平向左的勻強電場中，管的內壁光滑.現將一質量為m帶正電荷的小球從管中的A點靜止釋放，已知小球受到的重力和它受到的電場力相等，重力加速度為g.則釋放后：

(1)求小球第一次經過最低點D時的速度.

(2)小球第二次經過最高點C時，管對小球的作用力是多大？

圖3

此題看起來沒有什么問題，但仔細分析它就是一個永動機的模型．小球從A點由靜止運動，到B點，重力做功為零，電場力做功，小球獲得了動能.從B點經過C點再回到A點，由能量守恒，小球在A點的動能與在B點的動能相等．然后小球又從A點運動到B點，電場力又做正功，動能增加.這樣小球做往復的運動，每經過電場一次，小球動能就增加，永動機就這樣在看似合理的情況下產生了．此題的問題也是出現在物理模型的設計上，違背了電場力做功與路徑無關的規律，違背了靜電場的環路定理．從B點回到A點從電場的角度分析，必須克服電場力做功，此模型中沒有任何其他力做功，按動能定理，因為電場力對小球做了負功，所以小球在A點的速度要比小球在B點的速度小．而按照題目設計，若不考慮電場，小球從B點經C點回到A點是可行的，但有了電場就不一樣了．類似的問題在各類聯考和大型考試中經常出現．如2010年某市有一道模擬題．

題目3：如圖4(a)所示的平行板器件中，存在相互垂直的勻強磁場和勻強電場，磁場的磁感應強度B1=0.20 T，方向垂直紙面向里，電場強度E1=1.0×105V/m，PQ為板間中線，緊靠平行板右側邊緣xOy坐標系的第一象限[圖4(b)]內，有一邊界線AO，與y軸的夾角∠AOy=45°，邊界的上方有垂直

紙面向外的勻強磁場，磁感應強度B2=0.25 T,邊界下方有豎直向上的勻強電場，電場強度E2=5.0×105V/m．一束帶電荷量q=8.0×10-19C、質量m=8.0×10-26kg的正離子從P點射入平行板間，沿中線PQ做直線運動，穿出平行板后從y軸上坐標為(0,0.4)的Q點垂直y軸射入磁場區，多次穿越邊界線OA．求：

(1)離子運動的速度為多大.

(2)離子通過y軸進入磁場到第2次穿越邊界線OA所需要的時間.

(3)離子第4次穿越邊界線的位置坐標．

圖4

圖5

因此，在編寫物理題目時，追求題目的新穎、模型的創新，一定要在理論的指導下，以可靠的事實作為依據，否則就會出現上面類似的一些不完備或錯誤題目．

參考文獻

1 趙凱華，陳熙謀.電磁學上冊(第二版).北京：高等教育出版社,1984.73～79