用整體法求解漂浮型問題*

邵建新 張子英 曹海賓 劉云虎 林春艷 唐光輝

(石河子大學師范學院 新疆 石河子 832003)

浮力是流體靜力學中應用性較強的基礎知識之一，也是在力、二力的合成、二力平衡、同一直線上力的合成及平衡、密度和液體內部壓強等知識的綜合學習內容，因而成為教學和考試的重點；由于其綜合性，又使其成為教學的難點．浮力中有關“漂浮型”問題求解，則是難中之難，不少教師對此提出過一些求解方法，但我們覺得都過于繁難不便學生掌握．經過仔細研究，我們發現，常見的“漂浮型”問題，可用“整體法”統一求解．下面我們以常見問題求解為例說明之．

1 一些典型問題的分析

問題1：如圖1(a),裝有鐵塊的燒杯漂浮在小水池水面上，若將燒杯中的鐵塊取出并投入小水池中，如圖1(b).問小水池水面的高度如何變化？

圖1

解析: 若將鐵塊和燒杯分別進行研究，求解繁難.一方面，鐵塊投入小水池中后，占據一定體積，使水面上升；另一方面，由于燒杯中鐵塊的取出，燒杯的排水量減少，使水面下降 ．要綜合分析兩種因素誰占上風，實屬不易．但如果鐵塊投入小水池前后，始終把燒杯和鐵塊當作一個整體作為研究對象，則問題會明了得多．設燒杯和鐵塊的重量分別G杯、G鐵，鐵塊投入小水池前后，燒杯和鐵塊這個整體排開水的體積分別為V前、V后，要知道水面是否變化，只要比較V前、V后的大小即可．

下面分析鐵塊投入小水池前后研究對象的受力情況及其運動狀態．

鐵塊投入小水池前，研究對象的受力情況為，豎直向下的重力G杯、G鐵，豎直向上的浮力ρ水gV前；研究對象的運動狀態為靜止(平衡態)．故知研究對象受到的豎直向下的力等于豎直向上的力，即

G杯+G鐵=ρ水gV前

(1)

鐵塊投入小水池后，研究對象的受力情況為，豎直向下的重力G杯、G鐵，豎直向上的浮力ρ水gV后及池底對鐵塊的支持力N；研究對象的運動狀態為靜止(平衡態)．故知研究對象受到的豎直向下的力等于豎直向上的力，即

G杯+G鐵=ρ水gV后+N

(2)

因N≠0

(3)

由(1)、(2)、(3)式可知

ρ水gV后<ρ水gV前

即

V后

即池中水面下降.

由以上解析可以看出,求解這個問題的關鍵在于將燒杯和鐵塊作為一個整體,分析兩者分離前后整體的受力情況,然后根據這個整體分離前后均處于平衡態得到兩個平衡方程,最后再根據所給其他條件使問題得到解決．

問題2：漂浮在小水池中的小船下，懸吊著重物P．若把懸吊重物的繩子剪斷，重物P將沉入水底，這時水面將________；若把重物從水中拉上來，放到船艙內，這時的水面與重物吊在船下時的水面相比將________(填“上升”、“下降”、“不變”)．

圖2

解析: 三種情況如圖2(a)、(b)、(c)所示．選船和重物P這個整體作為研究對象．設圖(a)、(b)、(c)三種情況下船和重物P排開水的體積分別為Va、Vb、Vc，船的重量為G1，重物的重量為G2.

對圖2(a)狀態有

G1+G2=ρ水gVa

(4)

對圖2(b)狀態有

G1+G2=ρ水gVb+N

(5)

N≠0

(6)

對圖2(c)狀態有

G1+G2=ρ水gVc

(7)

由(4)、(5)、(6)式可得

ρ水gVb<ρ水gVa

所以

Vb

即池中水面下降.

由(4)、(7)式可得

ρ水gVa=ρ水gVc

故

Vc=Va

即池中水面不變．

問題3：如圖3(a)所示，把質量為m′的鐵塊放在木塊上面，剛好把木塊淹沒在水中.如果把質量為m的鐵塊系在木塊下面，也剛好把木塊淹沒在水中，如圖3(b)所示.求m′與m的比值．

圖3

解析: 將木塊和鐵塊看成整體作為研究對象．設木塊的體積為V．

對圖3(a)有

m′g+ρ木gV=ρ水gV

(8)

對圖3(b)有

mg+ρ木gV=ρ水gV+ρ水gVm

(9)

式中Vm為鐵塊m的體積.

(10)

由(8)、(9)、(10)式可得

問題4：如圖4(a)所示,盛有水的容器中,水面上浮著一塊冰．當冰完全融化后，容器中的水面是否變化？怎樣變化？

解析: 這也是一道很流行的題目．通常的解法是先選冰為研究對象，根據它是漂浮狀態及阿基米德原理求出冰塊排開水的體積V2,再求出冰塊完全融化后所占的體積V2＇，如圖4(b).由此比較可得出

V2＇=V2，即水面位置不變，但推理過程較復雜．若用整體法求解，設冰塊在水中的體積為V2,露出水面的體積為V1，冰塊及冰塊融化為水后的重量分別為G冰、G水．選整個冰塊為研究對象.對圖4(a)有

圖4

G冰=ρ水gV2

(11)

選冰塊融化成的水為研究對象.對圖4(b)有

G水=ρ水gV2＇

(12)

注意到冰塊融化為水后,重量不變，故有

G冰=G水

(13)

由(11)、(12)、(13)式 可得

V2＇=V2

即水面位置不變.

問題5：在問題4中，若冰塊中有一木塊，如圖5(a)所示.當冰塊完全融化為水后，容器中的水面是否變化？怎樣變化？

解析：將冰塊和木塊看成一整體作為研究對象．設冰塊融化前整體排開水的體積為Va,冰塊完全融化為水后整體排開水的體積為Vb，(包括冰塊完全融化為水后的體積和木塊排開水的體積之和),如圖5(b)所示.

圖5

對圖5(a)有

G冰+G木=ρ水gVa

(14)

對圖5(b)有

G水+G木=ρ水gVb

(15)

注意到冰塊融化為水后,重量不變，故有

G冰=G水

(16)

由(14)、(15)、(16)式可得

Vb=Va

即水面位置不變.

問題6：在問題4中，若冰塊中有一鐵塊，如圖6(a)所示.當冰塊完全融化為水后，容器中的水面是否變化？怎樣變化？

解析: 將冰塊和鐵塊看成一整體作為研究對象．設冰塊融化前整體排開水的體積為Va；冰塊完全融化為水后整體排開水的體積為Vb(包括冰塊完全融化為水后的體積和鐵塊排開水的體積之和),如圖6(b)所示.

圖6

對圖6(a)有

G冰+G鐵=ρ水gVa

(17)

對圖6(b)有

G水+G鐵=ρ水gVb+N

(18)

注意到冰塊融化為水后,重量不變，有

G冰=G水

(19)

又容器底部對鐵塊的支持力不為零，即

N≠0

(20)

由(17)、(18)、(19)、(20) 式可得

Vb

可知水面位置下降．

請思考，問題5和問題6的結論與木塊或鐵塊在冰塊中的位置有無關系？

以上例題涉及到的均是整體的重力不發生變化的情形.若整體的重力發生變化，仍可用整體法求解．

問題7：一木塊浮在水面上，露出水面的體積是V1；把它露出水面的部分截去，原水下部分又有體積V2露出水面．求這塊木塊的密度．

圖7

解析: 選木塊整體作為研究對象．依題意作出 圖7(a)、圖7(b) ，因在兩狀態時木塊均處于平衡態，故有

Fa浮=Ga物

(21)

Fb浮=Gb物

(22)

兩式相減，得

Fa浮-Fb浮=Ga物-Gb物

(23)

上式的物理意義是，從圖(a)態到圖(b)態的變化過程中，木塊所受浮力的減少等于其重量的減少．由此可得

ρ水gV2=ρ木gV1

即

問題8：有一粗細均勻的蠟燭下端掛一重物后，放入水中漂浮在液面上，有1 cm露出水面．將蠟燭點燃，讓它一直燒至淹滅.求燃燒掉的那部分蠟燭的長度為多少？(ρ蠟=0．9×103kg/m3)

解析: 設 燃燒掉的那部分蠟燭的長度為L，在L處畫一截面MN，選蠟燭及下端掛的重物為一整體作為研究對象．依題意作出 圖8(a)、圖8(b) ，因在兩狀態時研究對象均處于平衡態，故有

Fa浮=Ga物

(24)

Fb浮=Gb物

(25)

兩式相減，得

Fa浮-Fb浮=Ga物-Gb物

(26)

上式的物理意義是，從圖(a)態到圖(b)態的變化過程中，研究對象所受浮力的減少等于其重量的減少．由此可得

ρ水g(L-1)S=ρ蠟gLS

式中S為蠟燭的橫截面積.算得

L=10 cm

圖8

2 方法總結

由以上數例可以看出，用整體法求解的基本思想是,選擇一個合適的整體作為研究對象.在具體分析整體受力時,可以不考慮整體內部物體間的相互作用，只需考慮外界物體對整體的作用力；然后利用整體在狀態變化前后均處于平衡態可得到相關方程；最后結合所給其他條件可使問題得到解決．