繩上任一點的速度與加速度

田陽陽

(儀征市第二中學(xué) 江蘇 揚州 211400)

如圖1所示，一輛汽車通過一根繩SE跨過定滑輪O提升一重物.繩的S端拴在車后的掛鉤上，E端拴在重物上.設(shè)繩的總長不變，繩的質(zhì)量、定滑輪的質(zhì)量和尺寸、滑輪上的摩擦力都忽略不計．開始時，車在A處，滑輪左右兩側(cè)繩都已繃緊并且是豎直的.提升時車由靜止開始向左作加速度為a的勻加速直線運動，經(jīng)過時間t后運動到B點，此時車速為v車，繩子SO段與水平方向上的夾角為θ.已知定滑輪O與水平地面之間的高度為h，圖中i、j、k分別為三個方向上的單位向量.現(xiàn)分別探究SO段繩上距S點為b的P點及EO段繩上距E點為c的Q點的速度與加速度.

圖1

1 繩上任一點的速度及討論

1.1 SO段繩上任一點的速度及討論

1.1.1SO段繩上任一點的速度

SO段繩上任一點P的速度等于隨繩收縮的i速度分量與繞繩轉(zhuǎn)動的j速度分量的矢量和.即

vP=vi|b=bi+vj|b=bj

(1)

對繩的S端點(即b=0)處，已知其速度為

v=vi|b=0i+vj|b=0j

(2)

其中

vi|b=0=v車cosθvj|b=0=v車sinθ

又vj|b=0=lω(l為SO段繩的長度)，所以SO段繩繞O轉(zhuǎn)動的角速度

對同一段繩上任一點P

vi|b=b=vi|b=0=v車cosθ

vj|b=b=(l-b)ω

所以

vP=vi|b=bi+vj|b=bj=

(3)

考查(3)式不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)小車從A點開始運動時，θ、v車、l三個量都隨時間t變化，為了便于討論問題，這里把三個變量統(tǒng)一到同一個變量即時間t上.取小車的初始位置A為坐標(biāo)原點，AB方向為x軸正方向，并設(shè)B點的位置坐標(biāo)為x，則

將l、cosθ、sinθ代入(3)式得

(4)

因為小車由A點出發(fā)作初速度為零，加速度為a的勻加速直線運動，所以有

將v車、x代入(4)式得

(5)

(6)

(7)

1.1.2 討論

取h=2 m，a=1 m/s2，b=1 m代入(6)、(7)兩式得

(8)

(9)

取t∈[0,100],利用Mathematica軟件作出

vi|b=1-t及vj|b=1-t的圖像如圖2、圖3所示.

圖2

圖3

從圖像可以看出，vi|b=1隨著時間的增大而增大，vj|b=1隨著時間的增大而先增至最大后，緩慢遞減至零.從而SO段繩上距S點為b的P點，其速度的j分量vj|b=1最終趨于零，即SO段繩子最終不再繞O旋轉(zhuǎn)，繩子趨于水平.

1.2 EO段繩上任一點的速度及討論

1.2.1EO段繩上任一點的速度

EO段繩上任一點Q的速度等于隨繩收縮的速度分量，即

vQ=vi|c=ck=(v車cosθ)k

(10)

(11)

1.2.2 討論

由(11)式可知，vQ與Q點距E的距離c無關(guān),且其量值與vP中的i分量完全相同，不再贅述.

2 繩上任一點的加速度及討論

2.1 SO段繩上任一點的加速度及討論

2.1.1SO段繩上任一點的加速度

SO段繩上任一點P的加速度等于i方向的加速度分量ai和j方向的加速度分量aj的矢量和，即

aP=ai|b=bi+aj|b=bj

其中i方向的加速度分量ai等于拉繩加速度分量a‖與繩繞定滑輪O轉(zhuǎn)動而產(chǎn)生的另一沿繩方向的加速度分量a‖′的矢量和[1～2]；j方向的加速度分量aj是由j方向的速度分量的量值改變及i方向的速度分量的方向改變所引起的[2]，即

(12)

對繩的S端點(即b=0)處，已知其加速度為

acosθi+acosθj

(13)

其中

aj|b=0=asinθ=lβ+2viω[2](β為角加速度，ω為角速度),所以有[3]

對同一段繩上任一點P，有

aj|b=b=(l-b)β+2viω

所以

ai|b=bi+aj|b=bj

(14)

其中

(15)

(16)

2.1.2 討論

取h=2 m，a=1 m/s2，b=1 m代入(15)、(16)兩式得

(17)

(18)

取t∈[0,15]，利用Mathematica軟件作出

ai|b=1-t及aj|b=1-t的圖像如圖4、圖5所示.

圖4

圖5

從圖像可以看出，ai|b=1隨著時間的增大而增大，最終趨于一定值，即趨于汽車的加速度a=1 m/s2；aj|b=1隨著時間的增大而先增大至最大后迅速減小，最終平緩地趨近于零.

以上分析結(jié)果與現(xiàn)實情景完全符合：現(xiàn)實中隨著時間的推移，汽車后面的SO段繩子將趨于水平，致使ai趨向于汽車勻加速運動的加速度a，aj趨向于零.

2.2 EO段繩上任一點的加速度及討論

2.2.1EO段繩上任一點的加速度

EO段繩上任一點Q的加速度等于拉繩加速度分量a‖，即

(19)

將各變量統(tǒng)一到時間t上后，(19)式變?yōu)?/p>

(20)

2.2.2 討論

取h=2 m，a=1 m/s2代入(20)式得：

(21)

由(21)式可知,aQ與Q點距E的距離c無關(guān).

取t∈[0,15]，利用Mathematica軟件作出aQ-t的圖像如圖6所示.從圖像可以看出，aQ-t隨著時間的增大而先增至最大后，平緩地減小，最終趨于一定值，即趨于汽車的加速度a=1 m/s2；與圖4比較可以看出，SO段與EO段繩上任一點的加速度最終趨于相同.究其原因，SO段繩最終趨于水平，i方向速度分量的方向不再改變； 同時繩上任一點速度的j分量也趨于零.從而因j分量量值存在而產(chǎn)生的加速度分量a‖′及因i方向速度分量的方向改變和j方向速度分量的量值改變而產(chǎn)生的加速度分量aj不再存在.從而SO段與EO段繩上任一點的加速度不再有區(qū)別.

圖6

3 結(jié)束語

本文從分析繩上任一點速度的各分量及加速度的各分量的產(chǎn)生原因出發(fā)，明確指出了同一根繩上任一點速度的vi分量及加速度的a‖分量相同，并利用數(shù)形結(jié)合的方法將繩上各點的運動情況明顯地呈現(xiàn)出來.從速度及加速度的圖像及表達式可以明顯看出SO段繩上任一點(除端點S)在開始階段都在做變加速曲線運動.而EO段繩上任一點在開始階段都在做變加速直線運動.

參考文獻

1 錢樹高，夏英齊.用繩拉船和速度的合成與分解.物理與工程，2009，19(2)：55

2 周衍柏.理論力學(xué)教程.北京：高等教育出版社，2006：9～17

3 周侃，周軍.加速度分解不能類比速度分解.物理教學(xué)，2008，30(1):40