對頻譜及其幾何意義的探討

陳 軍

(定西師范高等?？茖W校物電系 甘肅 定西 743000)

1 引言

頻譜分析是信號與系統課程中最重要的內容之一.許多讀者在學習中感到抽象，往往只能從數學上承認時域信號與它的頻域(頻譜)之間的變換關系，而沒有深刻理解它的物理意義．利用Matlab軟件可以幫助讀者建立形象的幾何概念達到真正掌握．

2 仿真實例

2.1 兩個給定的共軛復信號頻譜合成并生成對應的時域信號

首先來看歐拉公式，它是以最簡明的方式建立了信號頻域與時域的關系

它說明一個最簡單的實余弦信號可以由正、負兩個Ω0頻率分量合成．在復平面上，正的Ω0對應于反時針旋轉的矢量，負的Ω0對應于順時針旋轉的矢量.當這兩個矢量的幅度相同，而相角符號相反時，就合成為一個在實軸上的矢量．它的相角為零，大小按余弦變化，形成了如圖1所示的實信號cosΩ0t.由對稱的正負頻率合成．推而廣之，任何實周期信號必然具有正、負兩組頻率的頻譜成分，正、負頻率頻譜的幅度對稱而相位反對稱，或者說，是共軛的．

圖1

可看出，任何虛周期信號也必然具有正、負兩個頻率的頻譜成分，只是要把負頻率的頻譜矢量反號(這意味著使其幅度反號)后與正頻率的頻譜成分相加．這時兩個矢量的幅度相等而相位互補，或者說，正、負兩部分頻譜的實部反號而虛部同號．這時的合成矢量在虛軸上，成為一個虛信號．

如果頻譜不止這兩項，而是有四項或更多呢？

2.2 四個任意給定的復信號頻譜合成并生成對應的時域信號．

四項或更多頻譜，它們的合成仍然可以用幾何動畫來表示．可以把每個頻譜看作一根長度等于頻譜幅度a(i)、按頻率Ω(i)旋轉的桿件，頻譜的相加等價于多節桿件首尾相接，桿件末端的軌跡就描述了生成的時域波形．因為這個端點是在平面上運動，所以它將產生復信號，在實軸和虛軸上的投影分別為實信號和虛信號．

如設計一個以四個任意給定的復信號頻譜合成并生成對應的時域信號的動態演示程序來說明．

2.2.1 建模 按上述多節桿合成模型

程序設計包括三個主要部分：1)各頻譜分量的輸入，包括其幅度和頻率(有正負)； 2)將各分量當作轉動的桿件首尾相接； 3)記錄多節桿系末端的軌跡畫出圖形．

2.2.2 Matlab程序(命名為eg)

% (1)給頻譜矢量賦值

N=input(’N(輸入矢量個數，為便于說明限定N不大于4)=’);

for i=I:N

i,a(i)=input(’振幅a(i)=’);

w(i)=input(’角頻率w(i)=’);

end;

% (2)將各個頻譜矢量相加合成并畫圖

t=linspace(0,20,201);It=length(t);

% 給出時間數組

p=a’*ones(1，It).*exp(j*w’*t);

% 各頻譜分量隨時間變化的復數值

q=cumsum(p);

% 各頻譜分量的累加(包括所有節點)

figure(1)，plot(real(q(4，:))，imag(q(4，:)))，grid on

% 畫合成復信號的端點軌跡

% (3)將此軌跡在實軸與虛軸兩個方向的投影畫成時間信號

figure(2),subplot(2,2,1),plot(real(q(4，:)),imag(q(4，:))),grid on

subplot(2,2,3),plot(real(q(4,:)),t),grid on % 畫出實信號的時間波形

subplot(2,2,2),plot(t,imag(q(4,:))),grid on % 畫出虛信號的時間波形

2.2.3 程序運行的結果

以五種情況的取值來闡明

第一種情況：運行eg程序并按提示輸入，取如下四個幅度相等，頻率符號等值的集總頻譜，

a(1)=1，w(1)=1；

a(2)=1，w(2)=1；

a(3)=1，w(3)=1；

a(4)=1，w(1)=1；

則四個集總頻譜的結果如圖2中Figure(2)的P(b)和P(c)中，它分別顯示正弦和余弦信號兩種時域信號的情況，P(a)為兩種信號的合成．

圖2

第二種情況：只取如下兩個幅度相等，頻率符號相反等值的集總頻譜，

a(1)=1，w(1)= 1；

a(2)=1，w(2)= -1；

a(3)=1，w(3)=2；

a(4)=1，w(1)= -2；

則四個集總頻譜，輸入則得到如圖3的結果．

圖3

第三種情況：如果只取兩個幅度相等，頻率符號相反等值的集總頻譜，

a(1)=1，w(1)= 1；

a(2)=1，w(2)= -1；

a(3)=1，w(3)=2；

a(4)=1，w(1)=2；

則四個集總頻譜，輸入得到如圖4的結果．

第四種情況：如下取兩個幅度相等，頻率符號相反不等值的集總頻譜，

a(1)=1，w(1)= 1；

a(2)=1，w(2)= -1；

a(3)=1，w(3)=3；

a(4)=1，w(1)= -4；

圖4

則四個集總頻譜，輸入得到如圖5的結果．

圖5

第五種情況：如果取如下四個集總頻譜，輸入

a(1)=0.8，w(1)= 1；

a(2)=0.9，w(2)= -1；

a(3)=0.6，w(3)=2；

a(4)=0.5，w(1)= -3；

則得到如圖6的結果．

圖6

在圖2、3、4、中顯示了對稱信號的合成，其輸入頻譜是對稱的．其中圖3有實信號而無虛信號；在圖5、6中，為了顯示復信號，有意把輸入頻譜設成不對稱的．于是將看到四節桿件模擬的復信號的合成的運動動畫，并得到桿系及其端點在復平面上的軌跡，它在x，y兩方向的投影與時間軸的關系畫在每幅圖的Figure(2)的P(b)和P(c)中，我們就得到信號與系統課程中常見的實信號曲線．通過Matlab軟件的模擬，使學習者輕松地理解頻譜及其幾何意義，化解教學難點．

輸入頻譜的幅度可以是負數，也可以是虛數，甚至可以是復數，它不僅反映了頻譜的大小，還反映了該矢量的起始相位；頻譜的頻率則只能是可正可負的實數，正頻率和負頻率以及在該頻率上頻譜的意義在此不言而喻．學習者可以做各種各樣的試驗，例如當兩組頻率具有倍頻關系時，得到的是周期信號，如果頻率比是任意小數，那將得出非周期的信號；另外，這樣的演示只適用于集總頻譜，對于分布的頻譜密度，就要把它想象為若干小的集總頻譜的疊合．總之有了這樣的形象演示，可以大大擴展時域信號與頻域譜之間關系的思維空間．

3 結論

可見，只有在復信號平面上，才能看到頻率的正負．負頻率頻譜的意義，打破了在實信號的局部范疇來思考問題而引起的限制．1992年聯合國教科文組織在里約熱內羅宣言中指出：純粹數學與應用數學是理解世界及其發展的一把鑰匙．從而使得人類真正認識這個世界，進而在這個世界中和諧生存發展．要在物理課堂教學中，靈活地運用數學成果及各種現代教育技術手段適時適量地運用多媒體技術，發揮其最大功效，就可以減輕學生學習的過重負擔，提高課堂教學效率，培養學生非智力因素，有效地培養跨世紀的創造性人才．

參考文獻

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