疊加法計算各向異性電介質平板電容器電容

鄭永紅

(北京信息科技大學理學院 北京 100085)

電容器是現代電工技術和電子技術中的重要元件，在實際中有著廣泛的應用[1]．電容是電容器的重要參數，根據不同需要，電容器的形狀以及電容器內所填充的電介質也不同．平板電容器是最常見的一種電容器，大學物理教學中，討論過真空平板電容器、各向同性平板電容器電容的計算．本文根據平板電容器的串并聯公式，介紹求解各向異性平板電容器電容的疊加法．利用此方法，進一步討論當電容器中充有線性和指數各向異性電介質時，電容器電容的計算． 為大學生提供了一種求解各向異性電介質平板電容器電容的方法．

1 各向同性平板電容器電容

真空中平板電容器，平板的面積為S,兩平板相距為d(S?d2)，如圖1所示．設兩極板的面電荷密度為±σ，則極板間的電場強度為[2]

圖1

(1)

由(1)式，兩極板間的電勢差為

(2)

再根據電容的定義

(3)

可見，平板電容器的電容，與極板的面積S成正比，與極板間距d成反比．那么，當極板間充滿各向同性的電介質時，電介質的介電常量為ε，如圖2所示，則電容器的電容為[3]

(4)

圖2

2 平板電容器電容疊加法

多個平板電容器并聯，如圖3所示.此時電容器總電容為

C=C1+C2+C3

(5)

圖3

圖4

設電介質的介電常量為ε(x)，即ε是x的函數，可以把電介質取成如圖4所示許許多多的窄條，每一窄條相當于各向同性的電介質.設此窄條電容為dC，則根據電容器的并聯原理，此時電容器的電容為dC的疊加，圖中a為極板的長度．

(6)

多個平板電容器串聯，如圖5所示.此時總電容為

(7)

圖5

(8)

圖6

3 各向異性電介質平板電容器電容的計算

3.1 線性各向異性電介質

利用上述電容的疊加原理，可以計算線性各向異性電介質分布的平板電容器的電容．

(9)

由平板電容的疊加法，根據(6)式，有

(10)

電容器中充有此種電介質時，電容器電容是真空電容器電容的1.5倍．

(11)

由平板電容的疊加法，根據(8)式，有

(12)

所以，總電容C最后由(12)式得

(13)

電容器中充有此種電介質時，電容器的電容是真空的1.44倍．可見，隨x分布線性電介質比填充隨y分布線性電介質，對電容器電容的影響較大些．

3.2 指數各向異性電介質

(14)

由平板電容的疊加法，根據(6)式，有

(15)

通過計算電容器中充有此種電介質時，電容器的電容是真空的1.7倍．

(16)

由平板電容的疊加法，根據(8)式，有

(17)

所以，總電容C最后由(17)式得

(18)

電容器中充有此種電介質時，電容器的電容是真空的1.59倍．可見，隨x分布指數電介質比填充隨y分布指數電介質，對電容器電容的影響較大些．指數電介質比線性電介質對電容的影響更大些．

4 結論

根據各向同性電介質平板電容器電容的公式，利用平板電容器電容的疊加原理，計算了各向異性線性電介質、指數電介質電容器的電容．從計算的結果可以看出，當平板電容器中充有線性各向異性電介質時，隨x分布線性電介質比填充隨y分布線性電介質，對電容器電容的影響較大些；當平板電容器中充有指數各向異性電介質時，隨x分布指數電介質比填充隨y分布指數電介質，對電容器電容的影響較大些．總體來說，如本文中所給出的電價常量ε的函數關系，指數電介質比線性電介質對電容的影響更大些．

參考文獻

1 趙凱華，陳熙謀.電磁學(上冊).北京：高等教育出版社，2008.156

2 程守洙，江之永.普通物理學(2).北京：高等教育出版社，2008.98

3 馬文尉，周雨青,等.物理學教程(上冊).北京：高等教育出版社，2006.56