ePSF擬合法與Gaussian擬合法的比較

張志淵，彭青玉，3

(1.暨南大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)系, 廣州 510632；2.廣東省高等學(xué)校光電信息與傳感器技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 廣州 510632；3.中國(guó)科學(xué)院光學(xué)天文聯(lián)合開(kāi)放實(shí)驗(yàn)室, 昆明 650011)

哈勃空間望遠(yuǎn)鏡雖然不受大氣的影響，但其成像系統(tǒng)仍存在衍射受限和焦距較短的局限性。通過(guò)哈勃空間望遠(yuǎn)鏡得到的圖像中的星像在半峰全寬(FWHM—Full Width at Half Maximum)下，其輪廓的直徑不到2個(gè)像素大小。根據(jù)Stone[1]的研究，如果圖像是足夠采樣的，則其中的星像在FWHM下輪廓直徑至少需要4個(gè)像素大小，否則這樣的圖像是欠采樣的。因此，通過(guò)哈勃空間望遠(yuǎn)鏡得到的圖像是欠采樣的。這種欠采樣圖像會(huì)對(duì)星像的位置測(cè)量帶來(lái)系統(tǒng)位置誤差的影響(像素相位誤差)。

為了解決這個(gè)問(wèn)題，Anderson和King在2000年提出了ePSF擬合法[2]。他們先利用抖動(dòng)的15幅圖像提取ePSF，然后應(yīng)用ePSF擬合星像的位置和通量。結(jié)果表明，對(duì)于大視場(chǎng)(WF—Wide Field)照相機(jī)圖像中的亮星其測(cè)量精度為2mas，而對(duì)于行星照相機(jī)(PC—Planetary Camera)圖像中的亮星其測(cè)量精度達(dá)到了1mas[2]。

對(duì)哈勃空間望遠(yuǎn)鏡的WF與PC的幾何畸變校正，ePSF提供有力的星像信息支持[3]。正是由于WF與PC的幾何畸變得到校正，土星衛(wèi)星位置的測(cè)量精度和準(zhǔn)確度才有了明顯提高[4]。

然而，Anderson和King卻不加說(shuō)明地把ePSF擬合法應(yīng)用到了地面CCD圖像中星像位置的測(cè)量中[5]。而且，他們也沒(méi)有把ePSF擬合法與經(jīng)典的定心算法作比較。

對(duì)于地面CCD圖像的測(cè)量，李展等人[6]在對(duì)修正矩法、中值法和Gaussian擬合法比較研究的基礎(chǔ)上指出，二維Gaussian擬合法是測(cè)量精度最好的方法。因此，對(duì)ePSF擬合法和二維Gaussian擬合法進(jìn)行詳細(xì)的比較。

本文第1部分描述星像輪廓模型；第2部分對(duì)ePSF擬合法的一些相關(guān)細(xì)節(jié)進(jìn)行介紹；第3部分對(duì)ePSF擬合法與Gaussian擬合方法的測(cè)量精度進(jìn)行比較；最后一部分是結(jié)論。

1 星像輪廓模型

圖1 作為代表的一個(gè)星像Fig.1 A typical simulated image for star

根據(jù)King[7]的研究，星像的大部分通量都被包含在一個(gè)核(如圖1中標(biāo)記為“1”的圓域)中，這個(gè)核的灰度分布近似于Gaussian分布；星像的一部分通量被包含在光暈(如圖1中標(biāo)記為“3”的環(huán)域)中，它的灰度分布近似于負(fù)冪函數(shù)分布；而且核與光暈之間存在一個(gè)灰度分布近似于指數(shù)函數(shù)分布的過(guò)渡區(qū)域(如圖1中標(biāo)記為“2”的環(huán)域)。具體地，為了更加合理地描述星像輪廓，King把星像輪廓看成是Gaussian、指數(shù)函數(shù)與Moffat函數(shù)的和[7]。

結(jié)合King的研究，把星像輪廓模型用以下方程[8]表示：

I(r,R,A,B,C,D)=B·M(r,A)+(1-B)

·[C·G(r,R)+(1-C)·H(r,D,R)].

(1)

其中r為星像周圍的點(diǎn)到星像中心的距離；R與大氣條件有關(guān)，天文上常使用大氣視寧度seeing來(lái)表征。seeing可用星像的半峰全寬(FWHM)來(lái)表示。而且FWHM與R有如下關(guān)系：

FWHM≈2.36R.

seeing值越小，表示大氣條件越好。G、H和M分別為Gaussian、指數(shù)函數(shù)和Moffat函數(shù)，它們的表達(dá)式如下：

它們分別表示模擬星像的核、過(guò)渡和光暈區(qū)域的灰度分布。(1)式中，A，B，C，D為常數(shù)。A影響光暈的灰度變化，體現(xiàn)了灰度從光暈的內(nèi)環(huán)到光暈的外環(huán)逐漸減弱的程度。為了得到比較合理的星像輪廓，必須使A>1；B表示光暈所分得的總通量比例；C表示核所分得如圖1中標(biāo)記為“2”的圓域中的通量比例；D使指數(shù)函數(shù)H(r,D,R)受到不同于Gaussian函數(shù)G(r,R)的寧?kù)o度影響； 根據(jù)實(shí)驗(yàn)中通過(guò)對(duì)A，B，C取不同值得到不同的星像輪廓模型，從而生成不同類型的星像。其中每一個(gè)模擬星像都隨機(jī)加入了泊松噪聲，并且對(duì)天空背景部分也加入泊松噪聲。如圖2所示為所生成的一幅典型的模擬圖像的一部分。對(duì)于模擬圖像的像素大小，采用了云南天文臺(tái)1m望遠(yuǎn)鏡上曾使用過(guò)的1k×1kCCD的情況，即24μ×24μ為一個(gè)像素大小。在實(shí)驗(yàn)中生成了4組圖像(分別對(duì)應(yīng)于圖7～10)，其中每一組有10幅圖像(詳見(jiàn)第3部分)。

圖2 一幅典型的模擬圖像的一部分Fig.2 A small frame of a simulated image of certain stars

Stetson[8]的研究，一般情況下，0≤B≤1，0≤C≤1，D=0.9。

2 ePSF擬合法

為了解決哈勃空間圖像欠采樣的問(wèn)題，美國(guó)學(xué)者Anderson和King提出了ePSF擬合法的概念。假如一個(gè)星像中心位于(xc,yc)，(i,j)是該星像周圍的一個(gè)像素，它們與ePSF存在如下關(guān)系[2]：

Pij=S*+f*×ψE(Δx,Δy).

其中Pij為像素(i,j)的灰度值；S*為天空背景值；f*為星像的通量因子；ψE(Δx,Δy)為點(diǎn)(i-xc,j-yc)的ePSF值。為了擬合星像的位置和通量，Anderson和King構(gòu)造χ2方程：

其中AP為擬合的像素范圍；Wij為像素(i,j)的權(quán)重；ψE(i-xc,j-yc)為點(diǎn)(i-xc,j-yc)的ePSF值；g為增益因子。我們發(fā)現(xiàn)g對(duì)xc、yc和f*求解并沒(méi)有影響，因此可把χ2簡(jiǎn)化為：

(2)

在式(2)中，f*是線性化出現(xiàn)的，容易通過(guò)最小二乘算法解出：

然而，(xc,yc)通過(guò)ψE(i-xc,j-yc)非線性地出現(xiàn)在式(2)中，這樣就不能像解f*一樣輕松地求出xc、yc。通過(guò)定義：

通過(guò)反復(fù)計(jì)算發(fā)現(xiàn)兩處有誤。我們推導(dǎo)的結(jié)果是：

y方向完全類似。在上面表達(dá)式中，ψij/x、ψij/y為ePSF在點(diǎn)(i-xc,j-yc)上的偏導(dǎo)數(shù)值。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)采用Lagrange插值的3點(diǎn)公式求解偏導(dǎo)數(shù)可以獲得足夠的精度。

圖3所示的流程圖描述了ePSF的提取與ePSF擬合星像的過(guò)程。Anderson和King[2]中的ePSF擬合法涉及了這樣一個(gè)過(guò)程：對(duì)于每一個(gè)星像通過(guò)平均它的15個(gè)不同指向的觀測(cè)資料解決由于圖像的欠采樣所引起的像素相位誤差。我們的模擬圖像是非欠采樣的，所以這里的ePSF擬合法沒(méi)有涉及這個(gè)步驟。

圖3 ePSF擬合法流程圖Fig.3 Flowchart for deriving an ePSF

2.1 ePSF的平滑

根據(jù)Anderson和King[2]的研究，為了使提取的ePSF更加準(zhǔn)確，需要對(duì)格點(diǎn)的ePSF值進(jìn)行平滑。通過(guò)采用他們的模板(A&K模板[2])平滑后，發(fā)現(xiàn)效果(如圖4)并不是很理想。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，Gaussian模板平滑效果(如圖5)更好。因此，采用了Gaussian模板對(duì)ePSF進(jìn)行平滑。

圖4 A&K模板平滑后的等高線Fig.4 Smoothed contours with an A&K mask

圖5 Gaussian模板平滑后的等高線Fig.5 Smoothed contours with a Gaussian mask

2.2 ePSF對(duì)天空背景的擬合

在用方程(2)求解出(xc,yc)和f*的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)利用類似方法也可擬合天空背景S*。由最小二乘算法解出：

其中qij=1/Pij；ψij=ψE(i-xc,j-yc)；令Wij=1，即把要擬合的像素都等權(quán)處理，這樣可把星像周圍處在天空背景水平的像素考慮在內(nèi)。由于亮星擴(kuò)散的范圍比較大，所以必須使擬合的范圍AP足夠大(例如取星像中心25×25個(gè)像素，甚至更大范圍)，以便在這個(gè)范圍內(nèi)包含天空背景區(qū)域，即到達(dá)天空背景水平。對(duì)于星像比較密集的模擬情況，如果擬合的范圍較大，可能會(huì)把周圍的伴星包含在內(nèi)，從而導(dǎo)致擬合的結(jié)果不準(zhǔn)確。因此，ePSF擬合天空背景只適合星像比較孤立的情況，而不適合于星像較為密集的情況。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

對(duì)于給定的一種條件，調(diào)用CFITSIO庫(kù)[9]相應(yīng)地生成10幅背景圖像，并給出了91個(gè)中心位置或者通量不同的星像。在每幅背景圖像中，采用方程(1)生成了這91個(gè)星像。這些星像中最暗的可達(dá)到18.41mag，最亮為11.65mag，其中暗星與亮星的數(shù)量分布比較均勻(從圖6～10可見(jiàn))。這里的星等(Magnitude)通過(guò)下面的公式進(jìn)行計(jì)算：

Magnitude=23.5-2.5×lgf*.

在相同條件下的一組模擬圖像中，計(jì)算每一個(gè)星像在這一組圖像中的位置相對(duì)于理論位置的標(biāo)準(zhǔn)差，這些標(biāo)準(zhǔn)差反映了采用算法的精度。

3.1 擬合天空背景對(duì)ePSF擬合法的影響

對(duì)于同一條件下的10幅模擬圖像，分別采用沒(méi)有擬合天空背景的ePSF模型和擬合了天空背景的ePSF模型擬合其中的星像，并對(duì)這兩種模型的精度進(jìn)行分析。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，是否擬合天空背景對(duì)星像位置的測(cè)量精度基本沒(méi)有影響(如圖6)。圖6中橫軸為星像的星等，縱軸代表以像素為單位的標(biāo)準(zhǔn)差。

圖6 沒(méi)有擬合天空背景的ePSF模型與擬合了天空背景的ePSF模型的精度比較.(a)在x方向的標(biāo)準(zhǔn)差比較；(b)在y方向的標(biāo)準(zhǔn)差比較Fig.6 Precisions for fitting ePSF with and without sky-background fitting.(a) standard deviations in the x direction;(b) standard deviations in the y direction

3.2 ePSF擬合法與Gaussian擬合法比較

在同一種條件下的10幅模擬圖像中，分別應(yīng)用ePSF擬合法和Gaussian擬合法對(duì)其中的星像進(jìn)行擬合，得到這些星像的位置。然后，計(jì)算同一個(gè)星像的ePSF擬合的位置和Gaussian擬合的位置相對(duì)于理論位置的平均偏差和標(biāo)準(zhǔn)差。平均偏差通過(guò)平均10幅圖像中所有星像的位置相對(duì)于其理論位置的偏差得到。

限于篇幅，本文只列出了4種情況下的ePSF擬合法與Gaussian擬合法的測(cè)量精度的比較(如圖7～10)。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，由Gaussian擬合法得到的星像位置相對(duì)于理論位置的平均偏差在0.005～0.01個(gè)像素之間波動(dòng)，而ePSF擬合法的平均偏差在0.007～0.01個(gè)像素之間波動(dòng)。在圖7～10中，橫軸為星像的星等，縱軸代表以像素為單位的標(biāo)準(zhǔn)差。

由圖7～10可見(jiàn)，兩種算法在x方向和y方向的結(jié)果較為一致：算法的標(biāo)準(zhǔn)差隨著星等的增加都呈現(xiàn)上升的趨勢(shì)，大部分情況下標(biāo)準(zhǔn)差在0.01個(gè)像素以內(nèi)，說(shuō)明這兩種算法對(duì)亮星的擬合結(jié)果都較為理想；對(duì)于暗星則有不同程度的波動(dòng)，在圖7和圖10中標(biāo)準(zhǔn)差在0.01～0.07個(gè)像素之間變化，而在圖8和圖9中相對(duì)要大點(diǎn)，分別在0.01～0.08與0.01～0.09個(gè)像素之間變化。從圖10可見(jiàn)，在天空背景較大、寧?kù)o度較差的情況下，Gaussian擬合法在方向上測(cè)量精度稍高于ePSF擬合法，其中的原因有待深入研究。總的來(lái)說(shuō)，這兩種算法幾乎是等精度的。只是對(duì)個(gè)別的暗星，這兩種算法的測(cè)量精度偏離較大點(diǎn)。

圖7 天空背景值為50，大氣寧?kù)o度為1(arcsec)，A=1.2，B=0.4，C=0.6.

圖8 天空背景值為50，大氣寧?kù)o度為1.4(arcsec)，A=1.2，B=0.4，C=0.6.

圖9 天空背景值為80，大氣寧?kù)o度為1(arcsec)，A=1.5，B=0.5，C=0.7.

圖10 天空背景值為80，大氣寧?kù)o度為1.4(arcsec)，A=1.5，B=0.5，C=0.7.

4 結(jié) 論

本文首先介紹了星像輪廓模型，并對(duì)模擬星像生成的細(xì)節(jié)作了必要說(shuō)明。然后，描述了ePSF擬合法的一些相關(guān)細(xì)節(jié)：ePSF的平滑和天空背景的擬合。最后，用ePSF擬合法和Gaussian擬合法擬合模擬星像，對(duì)它們擬合的精度進(jìn)行比較。初步的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，Gaussian擬合法與ePSF擬合法對(duì)星像的位置測(cè)量幾乎是等精度的。對(duì)于天空背景較大、寧?kù)o度較差的情況，Gaussian擬合法在方向上測(cè)量精度稍高于ePSF擬合法，其原因有待深入研究。當(dāng)然，這只是統(tǒng)計(jì)意義上的，并非指?jìng)€(gè)別點(diǎn)的情況。

致謝:感謝暨南大學(xué)計(jì)算機(jī)系張慶豐、孟小華和李展老師在論文實(shí)驗(yàn)中提出的建設(shè)性意見(jiàn)和提供的幫助。

[1] Stone R C. A COMPARISON OF DIGITAL CENTERING ALGORITHMS[J]. AJ, 1989, 97:1227-1237.

[2] Anderson J, King I R. Toward High-Precision Astrometry with WFPC2. I. Deriving an Accurate Point-Spread Function[J]. PASP, 2000,112:1360-1392.

[3] Anderson J, King IR. An Improved Distortion Solution for the Hubble Space Telescope’s WFPC2[J]. PASP, 2003, 115: 113-131.

[4] French R G, McGhee C A, Frey M, et al. Astrometry of Saturn’s Satellites from the Hubble Space Telescope WFPC2[J]. PASP, 2006, 118:246-259.

[5] Anderson J, Bedin L R, Piotto G, et al. Ground-based CCD astrometry with wide field images I. Oberservations just a few years apart allow decontamination of field objects from members in two globular clusters[J]. A&A, 2006, 454:1029-1045.

[6] 李展，彭青玉，韓國(guó)強(qiáng). CCD圖像數(shù)字定心算法的比較[J].天文學(xué)報(bào),2009，50(3):340-348.

LI Zhan, PENG Qing-yu, HAN Guo-qiang. Comparison of Digital Centering Algorithms Based on CCD Images[J]. AAS, 2009, 50(3): 340-348.

[7] King I R. THE PROFILE OF A STAR IMAGE[J]. PASP,1971, 83：199-201.

[8] Stetson P B, Lindsey E D, Dennis R C. FUTURE DEVELOPMENT OF THE DAOPHOT CROWDED-FIELD PHOTOMETRY PACKAGE[J]. PASP ,1990, 8:289-304.

[9] CFITSIO, http://heasarc.gsfc.nasa.gov.