分析法在立體幾何問題中的應用

分析法是立體幾何問題中經常用到的方法.一般步驟是:首先從結論入手，用分析的方法，通過等價推理，尋求最終解題所需要的條件;然后再在分析的基礎上，用綜合法把證明過程條理清楚地表現出來，即“逆推順證”.下面我們用分析法來分析兩道立幾題.

例1 (2010年深圳一模/文)如圖1，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點E在棱CC1的延長線上，且

CC1=C1E=BC=AB=1.

(Ⅰ)求證:D1E∥平面ACB1;

(Ⅱ)求證:平面D1B1E1⊥平面DCB1.

思路點撥 (Ⅰ)證明線面平行有二種思路，①是證明D1E與平面ACB1內的一條直線平行，或者說把D1E平移到平面ACB1中去;②是尋找一個經過D1E的平面，證明它與平面ACB1平行.本題中思路②的平面不易尋找，所以選擇思路①.要證D1E∥平面ACB1，只需證D1E與平面ACB1內的一條直線平行.在平面ACB1的三條直線AB1，B1C，AC中，結合圖形，只能嘗試證明D1E∥AB1.要想證明D1E∥AB1，常見有二種思路，①是轉化為線面平行;②是利用平行四邊形的性質或三角形中位線的性質等.連結AD1，∵AD1BC1B1E，∴四邊形AB1ED1是平行四邊形，從而易知D1E∥AB1，原題得證(證明過程略，下同).

(Ⅱ)要證面面垂直需通過線面垂直來實現，可是哪一條直線是我們所需要的與平面垂直的直線呢?有二種思路，①是想辦法證明B1C⊥平面D1B1E;②是證明B1E⊥平面DCB1.由已知得B1C2+B1E2=4=CE2，則B1C⊥B1E.只需再找出平面D1B1E內的一條直線與B1C垂直，似乎即可大功告成了.然而在中△D1B1C，易知D1B1=，B1C=，D1C=，因此B1C不垂直于D1B1，所以B1C不可能垂直于平面D1B1E.此時千萬不要氣餒，我們還有思路②.剛才已經找到了B1E⊥B1C，只需再找出平面DCB1內的一條直線與B1E垂直，由長方體的特征可知:CD⊥平面B1BCE，則CD⊥B1E.原題得證.

啟示 (1)有的同學一見到立體幾何就會發懵，不知從何下手，沒了思路.其實證明題一般就是對線、面的平行和垂直關系的證明，首先充分挖掘題目所提供的已知條件，做到“看到已知想性質，看到結論想判定”.同時充分運用“轉化”這種數學思想進行線線、線面、面面的平行、垂直關系之間的轉換.常先用分析法尋找證題的思路，比如頭腦中要有這樣的思路——“要證明線面平行，需證明線線平行…”，再用綜合法書寫證明的過程.

(2)平行問題的轉化:

線線平行線面平行面面平行

(3)垂直問題的轉化:線線垂直線面垂直面面垂直

例2 (2010年深圳一模/理)如圖2，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE.

(Ⅰ)在直線BC上是否存在一點P，使得平面DP∥平面EAB?請證明你的結論;

(Ⅱ)求平面EBD與平面ABC所成的銳二面角的余弦值.

思路點撥 (Ⅰ)由于不知道是否存在一點P，我們不妨假設DP∥平面EAB，那么在直線AB上必能找到一點F，使EF∥DP，即四邊形EFPD是平行四邊形.因此要確定點P的位置，就是使四邊形EFPD是平行四邊形，也就是ED∥FP且ED=FP.循著這個思路不難得出線段BC的中點就是滿足條件的點P(如圖3)，這里不再贅述.

(Ⅱ)問有兩個難點.一是平面EBD與平面ABC在圖中沒有交線，即“無棱”.因此，過B作AC的平行線l，∵ED∥AC，∴ED∥l，∴l是平面EBD與平面ABC所成二面角的棱.接下來是找(作)出二面角的平面角，就需要在兩個平面內找到同垂直于l的兩條相交直線.過C作l的垂線交l于G，連結DG，只要證明平面DCG是垂直于l的一個垂面，就說明∠DGC是所求二面角的平面角.得到如下思路:

l⊥平面DGCBG⊥CG(根據作圖)，BG⊥CDCD⊥平面ABC

平面ABC⊥平面ABC，DC⊥AC.

∴cosθ=cos∠DGC==.

補充說明 立體幾何的探索性問題是近幾年來高考中常常出現的新題型，而這類問題尤以存在型問題居多.這類問題常以“是否存在”“是否有”“是否可能”等語句出現，我們要引起高度重視.(Ⅱ)問也可用面積射影法求解.顯然△MBC是△EBD在底面ABC內的射影，則cosθ==.但此法多用于選擇、填空題.

從上面的兩例可以看出，分析法的基本思路是:從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實際上是要尋找它的充分條件.同學們可以在復習過程中，沿著這樣的解題思路，親自體驗一下分析法在立幾證明中的妙用.

責任編校 徐國堅