從一道高考題看高考對能力的要求

數學高考對同學們重點考查的能力是空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力以及應用意識、創新意識. 下面以2009年高考全國卷中的一道解幾題為例來解讀高考對數學能力的要求，希望對同學們的備考復習有一些幫助.

題目:已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為，過右焦點F的直線l與C相交與A、B兩點.

(Ⅰ)當l的斜率為1時，坐標原點O到1的距離為，求a，b的值;

(Ⅱ)C上是否存在點P，使得當l繞F轉到某一位置時，有=+成立?若存在，求出所有的P的坐標與l的方程;若不存在，說明理由.

分析(Ⅰ):審題，將文字語言和符號語言轉化為圖形語言，畫出圖形，對圖形的想象能力比較強的同學也可以想象圖形而不必畫出，考查考生對圖像的想象能力和畫圖能力;由于直線l斜率確定，這樣直線l方程中只有一個參數需要確定，確定了直線即確定了橢圓的焦點，再由方程的知識即可求出a，b的值，考查考生識圖能力、抽象概括能力和運算能力.

(I)設F(c，0)，當l斜率為1時，其方程為x-y-c=0，O到的l距離為=，

故=，c=1.由e==，得a=，b==.

分析(Ⅱ): 是否存在的實質是相應直線方程或點的坐標能否求出.由(I)求出橢圓方程，由直線l與橢圓C有兩個交點A，B，有兩種思路可以考慮:①聯立直線方程與橢圓方程，可以得出方程的根與系數(斜率存在時用k表示)的關系，并將向量表示的條件也用根表示，從而求出直線方程;②由于本題條件涉及線段中點，而直線方程的確定需求出斜率，也可以考慮運用點差法. 兩種方法都需要考查斜率不存在的情況，此時驗證即可.考生在解題之前可以通過試運算來估計兩種運算方向的運算量，考查考生的運算推理能力和運算能力，需要考生分析運算條件，探究運算方向，根據問題的條件尋找與設計合理、簡捷的運算途徑，確定運算程序，在運算過程中還需要對直線的位置的不確定性的代數表示形式進行討論. 運算過程中可能會遇到一定的障礙，但需要分析這些障礙是來自思路設計的錯誤，還是運算性錯誤，注意監控運算過程，要登高望遠，而不能“不識廬山真面目，只緣身在此山中”.

空間想象能力、合情推理能力較強的考生可能這樣考慮: 當直線l轉動時，A，B也隨之運動，從而以OA，OB為鄰邊的平行四邊形也隨之運動變化，該平行四邊形的第四個頂點P也隨之運動，本題中符合題意的P點應該是P的軌跡與橢圓C的交點!由于直線過橢圓焦點，而焦點在橢圓對稱軸上，可以猜想如果存在P點，則P應關于x軸對稱!這就使在未解題之前就猜到了結果的可能情況，使解題過程不再盲目，是推理論證能力較高層次的體現.

(II)方向一: C上存在點P，使得當l繞F轉到某一位置時，有=+成立. 由(I)知C的方程為2x2+3y2=6，設A(x1，y1)，B(x2，y2).

(i)當l不垂直于x軸時，設l的方程為y=k(x-1).C上的點P使=+成立的充要條件是P點的坐標為(x1+x2，y1+y2)，且2(x1+ x2)2+3(y1+ y2)2=6，整理得2x21+3y21+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6.又A，B在C上，即2x21+3y21=6，2x22+3y22=6，故2x1x2+3y1y2+3=0… ①

將y=k(x-1)代入2x2+3y2=6，化簡得(2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0.

于是x1+x2=，x1x2=， y1 y2=k2(x1-1)( x2-1)=.

代入①解得: k2=2， 此時x1+x2=. 于是y1+y2=k(x1+x2-2)=-，即P(，-).

因此，當k=-時，P(，)， l的方程為x+y-=0;

當k=時，P(，-)， l的方程為x-y-=0.

(ii)當l垂直于x軸時，由+=(2，0)知，C上不存在點P使=+成立.

綜上，C上存在點P(，±)使=+成立，此時l的方程為x±y-=0.

方向二: 設AB中點為M(x0，y0)，將2x21+3y21=6，2x22+3y22=6相減，得

2(x1+x2)(x1-x2)+3(y1+ y2)(y1-y2)=0，即2x0 (x1-x2)+3y0 (y1-y2)=0.

又∥，故當x1≠x2時，有=-=.又點P(2x0，2y0)在橢圓上，所以有8x20+12y20=6. 解得x0 =， y0 =±，由兩點式知，直線方程為x±y-=0.當x1=x2時，經驗證不成立.

綜上，C上存在點P(，±)使=+成立，此時l的方程為x±y-=0.

由上可見，對于解析幾何中運算量大的問題，要求考生有較強的解題能力，不僅要考慮算理，還要考慮算法. 好的算法可能使運算量大大減少，提高解題的正確率. 同時還能使考生克服思維定勢，形成解題的靈活性，強化創新意識.

責任編校 徐國堅